Уравнений

Для электрической цепи, изображенной на рисунке 1.1 по известным величинам: Е₅ = 70 В; Е₆ = 20 В; R₀₅ = 0,5 Ом; R₀₆ = 0,5 Ом; R₅ = 9,5 Ом; R₆ = 9,5 Ом; R₇ = 10 Ом определите токи ветвей методом узловых и контурных уравнений (на основании законов Кирхгофа).

 

 

Рисунок 1.1 – Схема электрической

цепи постоянного тока

 

В ряде случаев при расчете токов в разветвленной цепи не представляется возможным предугадать, какое направление будет иметь тот или иной ток. Поэтому задаемся (произвольно) направлениями токов I_7, I₆, I₅ во всех участках цепи и обозначаем эти направления стрелками. Если направление токов выбрано правильно, то в результате вычисления, величина тока будет положительной. Если же при расчете ток получится отрицательным, то действительное направление тока противоположно произвольно выбранному.

Так как в данной цепи имеются три неизвестные величины – токи I_7, I₆, I₅, то необходимо составить систему уравнений, связывающих эти величины. Данная цепь имеет две узловые точки А и В. Поэтому по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение (на единицу меньше числа узлов), а два других уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо задаться направлением обхода контура. Если направление тока и направление действия электродвижущей силы совпадают с направлением обхода контура, то падения напряжений и электродвижущие силы берутся со знаком «плюс», падения напряжений и электродвижущие силы противоположного направления – со знаком «минус».

На основании первого закона Кирхгофа для узла А

 

 

I₇ + I₆ + I₃ =0 (1.1)

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

для контура ACДBA – Е₅ = I₇R₇ – I₅R₅–I₅ R_05. (1.2)

для контура АВЕGА Е₆ = I₆R₆ + I₆R₀₆ –I₇ R₇ (1.3)

После подстановки известных величин в уравнении (1.2) и (1.3) получим: 10I₅ = 10I₇ +70;

10I₆ = 10I₇ +20.

Заменяя в уравнении (1.2) значения I₃ через (I₁ + I₂) из уравнения (1.1), получим: I₅ = I₇ + 7;

I₆ = I₇ +2_.

Складываем полученные два уравнения:

 

I₇+I₇+2+I₇+7=0;

 

Откуда,

Подставляя найденное значение тока I₇ в уравнении (1.2), получаем:

I₆ = –3+ 2 = –1 А,

I₅= –3 + 7 = 4А.

Знак «плюс» у токов I_1, I₂, I₃ показывает, что направление токов выбрано нами правильно. Оба источника вырабатывают энергию, то есть работают в режиме генераторов.

Для проверки правильности решения оставляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Е₆ –E₅= I₆ R₆ + I₉R₀₆–I₅R₅–I₅R₀₅;

20–70 = –1×9.5–1×0.5–4×9.5–4×0.5;

–50 = –50.

Токи определены правильно.