Математическое приложение. а. Некоторые стандартные функции

а. Некоторые стандартные функции

ln е ^x = х;

(е ^x)' = е ^x ; (а^x)' = a^x ln а;

= е ⁿ - 1;

б. Производная и интеграл функции у = е ^at.

Для расчета современной стоимости и наращенной суммы непрерывного потока платежей необходимо определить производную и интеграл функции у = е ^at, где а — постоянная величина, t — продолжительность потока платежей.

. (1)

Соответственно при наращении и дисконтировании по непрерывной ставке имеем:

.

В свою очередь, первообразная для функции е ^at имеет вид e ^at / a, так как в силу (1) (е ^at / а) ' = е ^at. Отсюда

. (2)

При использовании непрерывной ставки получим следующие коэффициенты приведения и наращения постоянного потока платежей:

.

в. Определение интеграла . Интегрируем функцию F по частям.

.

Воспользуемся формулой (2), после чего

Если речь идет о непрерывном дисконтировании по ставке , то а = - и, следовательно,

. (3)

г. Определение современной стоимости "треугольного" потока платежей

На основе рис. 5.2 получим

(4)

Общий принцип определения современной стоимости потока платежей:

Применим соотношение (4), после чего

После небольших преобразований получим

Воспользовавшись (2) и (3), окончательно имеем:

(5)

д. Доказательство формулы (5. 14) Исходные условия:

R ₀ = 0; М = ; R_n =

Теперь на основе (5) получим