ПРИМЕР 4. Прогнозируется произведение двух случайных переменных, РВД которых показаны ниже в таблице

Прогнозируется произведение двух случайных переменных, РВД которых показаны ниже в таблице. Доверительная вероятность принята на уровне 80%. Таким образом, Р = 100 = 89,4%. По табл. 8.4 находим = 0,053.

Применим первый из рассмотренных выше подходов. По формулам (8.6) и (8.9) определим значения х и границы прогнозных интервалов для каждого сомножителя.

	Распределение	а	b	L	x	А	B
V	T			2	0,33	3,33	4,67
W	P				0,21	10,21	13,79
Y						34,00	64,40

Как видим, прогнозный интервал 34 — 64,4 довольно широк. Однако он уже, чем произведение граничных значений РВД (30 — 70).

Для применения второго метода рассчитаем средние и дисперсии.

	Средняя	Дисперсия
V		0,167
W		1,333
Y		7,56

Для принятого уровня доверительной вероятности z = 1,28 (см. табл. 8.2). Границы прогнозного интервала составят:

А = 48 -1,28 x 7,56 = 38,32; B = 48 + 1,28 x 7,56 = 57,68.

Второй метод дает более узкий прогнозный интервал.

Математическое приложение

Доказательство формулы (8.14)

Исходим из известного в математической статистике соотношения

D_x=E (x)² - [ E (x)]², (1)

где D_x — дисперсия случайной переменной x;

Е (х) — математическое ожидание переменной x.

В силу (1) можно записать:

D_y = E (vw)² - [ E (vw)]². (2)

Известно, что

E (vw) = E (v) E (w); E (vw)² = E (v)² E (w)².

В свою очередь,

E (v)² = D_v + [ E (v)]²; E (w)² = D_w + [ E (w)]².

Перепишем (2), использовав полученные выражения, и заменим математические ожидания переменных на соответствующие средние (M_v; M_w),после чего имеем:

.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Коэффициенты наращения дискретных рент

Таблица 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000
	2,0100000	2,0200000	2,0300000	2,0400000	2,0500000	2,0600000
	3,0301000	3,0604000	3,0909000	3,1216000	3,1525000	3,1836000
	4,0604010	4,1216080	4,1836270	4,2464640	4,3101250	4,3746160
	5,1010050	5,2040402	5,3091358	5,4163226	5,5256313	5,6370930
	6,1520151	6,3081210	6,4684099	6,6329755	6,8019128	6,9753185
	7,2135352	7,4342834	7,6624622	7,8982945	8,1420085	8,3938376
	8,2856706	8,5829691	8,8923360	9,2142263	9,5491089	9,8974679
	9,3685273	9,7546284	10,1591061	10,5827953	11,0265643	11,4913160
	10,4622125	10,9497210	11,4638793	12,0061071	12,5778925	13,1807949
	11,5668347	12,1687154	12,8077957	13,4863514	14,2067872	14,9716426
	12,6825030	13,4120897	14,1920296	15,0258055	15,9171265	16,8699412
	13,8093280	14,6803315	15,6177904	16,6268377	17,7129828	18,8821377
	14,9474213	15,9739382	17,0863242	18,2919112	19,5986320	21,0150659
	16,0968955	17,2934169	18,5989139	20,0235876	21,5785636	23,2759699
	17,2578645	18,6392853	20,1568813	21,8245311	23,6574918	25,6725281
	18,4304431	20,0120710	21,7615877	23,6975124	25,8403664	28,2128798
	19,6147476	21,4123124	23,4144354	25,6454129	28,1323847	30,9056525
	20,8108950	22,8405586	25,1168684	27,6712294	30,5390039	33,7599917
	22,0190040	24,2973698	26,8703745	29,7780786	33,0659541	36,7855912
	23,2391940	25,7833172	28,6764857	31,9692017	35,7192518	39,9927267
	24,4715860	27,2989835	30,5367803	34,2479698	38,5052144	43,3922903
	25,7163018	28,8449632	32,4528837	36,6178886	41,4304751	46,9958277
	26,9734649	30,4218625	34,4264702	39,0826041	44,5019989	50,8155774
	28,2431995	32,0302997	36,4592643	41,6459083	47,7270988	54,8645120
	29,5256315	33,6709057	38,5530423	44,3117446	51,1134538	59,1563827
	30,8208878	35,3443238	40,7096335	47,0842144	54,6691264	63,7057657
	32,1290967	37,0512103	42,9309225	49,9675830	58,4025828	68,5281116
	33,4503877	38,7922345	45,2188502	52,9662863	62,3227119	73,6397983
	34,7848915	40,5680792	47,5754157	56,0849378	66,4388475	79,0581862
	36,1327404	42,3794408	50,0026782	59,3283353	70,7607899	84,8016774
	37,4940679	44,2270296	52,5027585	62,7014687	75,2988294	90,8897780
	38,8690085	46,1115702	55,0778413	66,2095274	80,0637708	97,3431647
	40,2576986	48,0338016	57,7301765	69,8579085	85,0669594	104,1837546
	41,6602756	49,9944776	60,4620818	73,6522249	90,3203074	111,4347799
	43,0768784	51,9943672	63,2759443	77,5983138	95,8363227	119,1208667
	44,5076471	54,0342545	66,1742226	81,7022464	101,6281389	127,2681187
	45,9527236	56,1149396	69,1594493	85,9703363	107,7095458	135,9042058
	47,4122509	58,2372384	72,2342328	90,4091497	114,0950231	145,0584581
	48,8863734	60,4019832	75,4012597	95,0255157	120,7997742	154,7619656
	50,3752371	62,6100228	78,6632975	99,8265363	127,8397630	165,0476836
	51,8789895	64,8622233	82,0231965	104,8195978	135,2317511	175,9505446
	53,3977794	67,1594678	85,4838923	110,0123817	142,9933387	187,5075772
	54,9317572	69,5026571	89,0484091	115,4128770	151,1430056	199,7580319
	56,4810747	71,8927103	92,7198614	121,0293920	159,7001559	212,7435138

Продолжение табл. 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	58,0458855	74,3305645	96,5014572	126,8705677	168,6851637	226,5081246
	59,6263443	76,8171758	100,3965009	132,9453904	178,1194218	241,0986121
	61,2226078	79,3535193	104,4083960	139,2632060	188,0253929	256,5645288
	62,8348338	81,9405897	108,5406479	145,8337343	198,4266626	272,9584006
	64,4631822	84,5794015	112,7968673	152,6670837	209,3479957	290,3359046

Продолжение табл. 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000
	2,0700000	2,0800000	2,0900000	2,1000000	2,1100000	2,1200000
	3,2149000	3,2464000	3,2781000	3,3100000	3,3421000	3,3744000
	4,4399430	4,5061120	4,5731290	4,6410000	4,7097310	4,7793280
	5,7507390	5,8666010	5,9847106	6,1051000	6,2278014	6,3528474
	7,1532907	7,3359290	7,5233346	7,7156100	7,9128596	8,1151890
	8,6540211	8,9228034	9,2004347	9,4871710	9,7832741	10,0890117
	10,2598026	10,6366276	11,0284738	11,4358881	11,8594343	12,2996931
	11,9779887	12,4875578	13,0210364	13,5794769	14,1639720	14,7756563
	13,8164480	14,4865625	15,1929297	15,9374246	16,7220090	17,5487351
	15,7835993	16,6454875	17,5602934	18,5311671	19,5614300	20,6545833
	17,8884513	18,9771265	20,1407198	21,3842838	22,7131872	24,1331333
	20,1406429	21,4952966	22,9533846	24,5227121	26,2116378	28,0291093
	22,5504879	24,2149203	26,0191892	27,9749834	30,0949180	32,3926024
	25,1290220	27,1521139	29,3609162	31,7724817	34,4053590	37,2797147
	27,8880536	30,3242830	33,0033987	35,9497299	39,1899485	42,7532804
	30,8402173	33,7502257	36,9737046	40,5447028	44,5008428	48,8836741
	33,9990325	37,4502437	41,3013380	45,5991731	50,3959355	55,7497150
	37,3789648	41,4462632	46,0184584	51,1590904	56,9394884	63,4396808

Продолжение табл. 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	40,9954923	45,7619643	51,1601196	57,2749995	64,2028321	72,0524424
	44,8651768	50,4229214	56,7645304	64,0024994	72,2651437	81,6987355
	49,0057392	55,4567552	62,8733381	71,4027494	81,2143095	92,5025838
	53,4361409	60,8932956	69,5319386	79,5430243	91,1478835	104,6028939
	58,1766708	66,7647592	76,7898131	88,4973268	102,1741507	118,1552411
	63,2490377	73,1059400	84,7008962	98,3470594	114,4133073	133,3338701
	68,6764704	79,9544151	93,3239769	109,1817654	127,9987711	150,3339345
	74,4838233	87,3507684	102,7231348	121,0999419	143,0786359	169,3740066
	80,6976909	95,3388298	112,9682169	134,2099361	159,8172859	190,6988874
	87,3465293	103,9659362	124,1353565	148,6309297	178,3971873	214,5827539
	94,4607863	113,2832111	136,3075385	164,4940227	199,0208779	241,3326843
	102,0730414	123,3458680	149,5752170	181,9434250	221,9131745	271,2926065
	110,2181543	134,2135374	164,0369865	201,1377675	247,3236237	304,8477192
	118,9334251	145,9506204	179,8003153	222,2515442	275,5292223	342,4294455
	128,2587648	158,6266701	196,9823437	245,4766986	306,8374368	384,5209790
	138,2368784	172,3168037	215,7107547	271,0243685	341,5895548	431,6634965
	148,9134598	187,1021480	236,1247226	299,1268053	380,1644058	484,4631161
	160,3374020	203,0703198	258,3759476	330,0394859	422,9824905	543,5986900
	172,5610202	220,3159454	282,6297829	364,0434344	470,5105644	609,8305328
	185,6402916	238,9412210	309,0664633	401,4477779	523,2667265	684,0101967
	199,6351120	259,0565187	337,8824450	442,5925557	581,8260664	767,0914203
	214,6095698	280,7810402	369,2918651	487,8518112	646,8269337	860,1423908
	230,6322397	304,2435234	403,5281330	537,6369924	718,9778964	964,3594777
	247,7764965	329,5830053	440,8456649	592,4006916	799,0654650	1081,082615
	266,1208513	356,9496457	481,5217748	652,6407608	887,9626662	1211,812529
	285,7493108	386,5056174	525,8587345	718,9048369	986,6385595	1358,230032
	306,7517626	418,4260668	574,1860206	791,7953205	1096,168801	1522,217636
	329,2243860	452,9001521	626,8627625	871,9748526	1217,747369	1705,883752
	353,2700930	490,1321643	684,2804111	960,1723378	1352,699580	1911,589803
	378,9989995	530,3427374	746,8656481	1057,189572	1502,496533	2141,980579
	406,5289295	573,7701564	815,0835564	1163,908529	1668,771152	2400,018249

Продолжение табл. 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000	1,0000000
	2,130000.0	2,1400000	2,1500000	2,1800000	2,2000000	2,2500000
	3,4069000	3,4396000	3,4725000	3,5724000	3,6400000	3,8125000
	4,8497970	4,9211440	4,9933750	5,2154320	5,3680000	5,7656250
	6,4802706	6,6101042	6,7423813	7,1542098	7,4416000	8,2070313
	8,3227058	8,5355187	8,7537384	9,4419675	9,9299200	11,2587891
	10,4046575	10,7304914	11,0667992	12,1415217	12,9159040	15,0734863
	12,7572630	13,2327602	13,7268191	15,3269956	16,4990848	19,8418579
	15,4157072	16,0853466	16,7858419	19,0858548	20,7989018	25,8023224
	18,4197492	19,3372951	20,3037182	23,5213086	25,9586821	33,2529030
И	21,8143165	23,0445164	24,3492760	28,7551442	32,1504185	42,5661287
	25,6501777	27,2707487	29,0016674	34,9310701	39,5805022	54,2076609
	29,9847008	32,0886535	34,3519175	42,2186628	48,4966027	68,7595761
	34,8827119	37,5810650	40,5047051	50,8180221	59,1959232	86,9494702
	40,4174644	43,8424141	47,5804109	60,9652660	72,0351079	109,6868377
	46,6717348	50,9803521	55,7174725	72,9390139	87,4421294	138,1085472
	53,7390603	59,1176014	65,0750934	87,0680364	105,9305553	173,6356839
	61,7251382	68,3940656	75,8363574	103,7402830	128,1166664	218,0446049
	70,7494062	78,9692348	88,2118110	123,4135339	154,7399997	273,5557562
	80,9468290	91,0249277	102,4435826	146,6279700	186,6879996	342,9446952
	92,4699167	104,7684175	118,8101200	174,0210046	225,0255995	429,6808690
	105,4910059	120,4359960	137,6316380	206,3447855	271,0307195	538,1010862
	120,2048367	138,2970354	159,2763837	244,4868468	326,2368633	673,6263578
	136,8314654	158,6586204	184,1678413	289,4944793	392,4842360	843,0329473
	155,6195559	181,8708272	212,7930175	342,6034855	471,9810832	1054,791184
	176,8500982	208,3327430	245,7119701	405,2721129	567,3772999	1319,488980
	200,8406110	238,4993271	283,5687656	479,2210933	681,8527598	1650,361225
	227,9498904	272,8892329	327,1040804	566,4808901	819,2233118	2063,951531
	258,5833762	312,0937255	377,1696925	669,4474503	984,0679742	2580,939414
	293,1992151	356,7868470	434,7451464	790,9479913	1181,881569	3227,174268

Продолжение табл. 1

Число пер-в n	Ставка процентов, %
	332,3151130	407,7370056	500,9569183	934,3186298	1419,257883	4034,967835
	376,5160777	465,8201864	577,1004561	1103,495983	1704,109459	5044,709793
	426,4631678	532,0350125	664,6655245	1303,125260	2045,931351	6306,887242
	482,9033796	607,5199142	765,3653532	1538,687807	2456,117621	7884,609052
	546,6808190	693,5727022	881,1701561	1816,651612	2948,341146	9856,761315
	618,7493254	791,6728805	1014,345680	2144,648902	3539,009375	12321,95164
	700,1867377	903,5070838	1167,497532	2531,685705	4247,811250	15403,43956
	792,2110137	1030,998076	1343,622161	2988,389132	5098,373500	19255,29944
	896,1984454	1176,337806	1546,165485	3527,299175	6119,048200	24070,12430
	1013,704243	1342,025099	1779,090308	4163,213027	7343,857840	30088,65538
	1146,485795	1530,908613	2046,953854	4913,591372	8813,629408	37611,81923
	1296,528948	1746,235819	2354,996933	5799,037819	10577,35529	47015,77403
	1466,077712	1991,708833	2709,246473	6843,864626	12693,82635	58770,71754
	1657,667814	2271,548070	3116,633443	8076,760259	15233,59162	73464,39693
	1874,164630	2590,564800	3585,128460	9531,577105	18281,30994	91831,49616
	2118,806032	2954,243872	4123,897729	11248,26098	21938,57193	114790,3702
	2395,250816	3368,838014	4743,482388	13273,94796	26327,28631	143488,9627
	2707,633422	3841,475336	5456,004746	15664,25859	31593,74358	179362,2034
	3060,625767	4380,281883	6275,405458	18484,82514	37913,49229	224203,7543
	3459,507117	4994,521346	7217,716277	21813,09367	45497,19075	280255,6929