Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Двойной интеграл в полярных координатах




 

Переход от декартовых координат (x; y) к полярным (ρ;φ)в двойном интеграле осуществляется по формулам:

X= ρ cos φ; y= ρ sin φ; dxdy= ρdρdφ,

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах также сводится к вычислению повторных интегралов. Если область D = {(β;α): α ≤ ≤ β, 1(α)≤ 2(α)} то двойной интеграл вычисляется по формуле:  

 

Пример: вычислить двойной интеграл

если область интегрирования Д ограничена дугами окружностей x2+y2=4x, x2+y2=8x и прямыми y=-x, y= x

Перейдем к полярным координатам используя формулы a=ρ cosα , y=ρsinα Тогда подынтегральная функция F(x) = Преобразуется к виду 1/ρ Следовательно F(ρcos α, ρsin α) ρ= ρ1/ ρ=1 Получим уравнения окружностей, являющихся границами областей в полярной системе координат.

x2+y2=4x ⟹(ρcos α)+ (ρsinα)= 4 ρcos α⟹ ρ=4cos α

x2+y2=8x ⟹(ρcos α)+ (ρsinα)= 8 ρcos α ⟹ ρ=8cos α

Уравнения прямых в полярной системе координат преобразуются следующим образом (при x≥0)

Y=-x ⟹ ρsinα=- ρcos α⟹ tg α = -1 ⟹ α=-π/4

Y= ⟹ ρsinα= ρcos α⟹ tg α = ⟹ α= π/3

Таким образом, область D в полярных координатах задается следующими неравенствами: и применяя

формулу (3) получаем:







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 986. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия