Двойной интеграл в полярных координатах
Переход от декартовых координат (x; y) к полярным (ρ; φ)в двойном интеграле осуществляется по формулам: X= ρ cos φ; y= ρ sin φ; dxdy= ρ dρ dφ,
Пример: вычислить двойной интеграл если область интегрирования Д ограничена дугами окружностей x2+y2=4x, x2+y2=8x и прямыми y=-x, y=
x2+y2=4x ⟹ (ρ cos α)+ (ρ sinα)= 4 ρ cos α ⟹ ρ =4cos α x2+y2=8x ⟹ (ρ cos α)+ (ρ sinα)= 8 ρ cos α ⟹ ρ =8cos α Уравнения прямых в полярной системе координат преобразуются следующим образом (при x≥ 0) Y=-x ⟹ ρ sinα =- ρ cos α ⟹ tg α = -1 ⟹ α =-π /4 Y= Таким образом, область D в полярных координатах задается следующими неравенствами: формулу (3) получаем:
|
в полярных координатах также сводится к вычислению повторных интегралов. Если область D = {(β; α): α ≤ 
≤ β, 
1(α)≤ 
x
Преобразуется к виду 1/ρ
Следовательно
F(ρ cos α, ρ sin α) ρ = ρ 1/ ρ =1
Получим уравнения окружностей, являющихся границами областей в полярной системе координат.
⟹ ρ sinα = 
и применяя
