Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Градиент




 

Пусть задана дифференцируемая функция Z=f(x,y). Геометрически она изображается поверхностью. Различные точки этой поверхности имеют различные аппликаты Z. Чтобы выделить на поверхности точки, находящиеся от плоскости на одном и том же расстоянии С, надо f(x,y)=С (геометрически провести секущую плоскость Z=C). Кривая в плоскости XOY, уравнение которой f(x,y)=С, называется линией уровня поверхности Z=f(x,y) т.е. линия уровня поверхности это множество всех точек плоскости, в которых данная функция принимает одно и то же значение.

Если поверхность Z=f(x,y) пересечь плоскостями Z=C, где С – произвольная постоянная, и спроектировать полученные в сечениях линии на плоскость xOy, то на этой плоскости получиться семейство линий уровня f(x,y)=С с параметром С.

Пример 1

Положим, что Z=C ;

 

Следовательно, линии уровня поверхности (эллипсоида) представляет собой семейство эллипсов с плоскостями a= 4 ; b=

Пусть Z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки Мо(xo,yo)

Определение. Градиентом функции Z=f(x,y) в точке Мо называется вектор, обозначаемый символом и имеющий координаты равные соответственно производным вычисленным в точке Мо

Градиент характеризует направление наискорейшего возрастания функции в заданной точке.

Если рассматривать функцию трех переменных, в точке Мо(xo,yo zo)

То

Пример 2 С какой наибольшей скоростью моет возрастать функция

при переходе точки М(x,y,z) через точку М(-1,2,-1)? в каком направлении должна двигаться точка М при переходе черех точку М1(2;0;1), чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

 

Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции и при переходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента функции в точке Р.

1). его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости вырастания функции и (М) при переходе через точку Мо будет = 3/5

2) Искомый вектор имеющий прямо противоположное направление будет Чтобы функция U убывала с наибольшей скоростью при переходе через точку М1 точка М должна двигаться в направлении вектора

Определение: Производной функции Z=f(x,y) в точке Мо(xo,yo) по направлению, определенному единичным вектором ē = cos α ī+cos βĵ называется проекция на вектор ē

Соответственно, для функции U=f(x,y,z) производная в точке Мо(xo,yo,zo) по направлению вектора ē = cos α ī+cos βĵ + cos p k имеет вид.

Пример3 Найти производную функцию u = xy+yz+1 по направлению вектора ē(12;-3;-4) в любой точке и в точках A(0;-2;-1) и B(3;3;5)

Найдем частные производные функций и U направляющие косинусы вектора ē

= x+z; ;

Подставляя значения в формулу для получим 8y-3(x+z)/13

Подставляя координаты точек А и В получим

Задачи для самостоятельного решения:

1. С какой наибольшей скоростью может убывать функция U=ln (x2 - y2+z2) при переходе точки М(x,y,z) через точку М(1;1;1)

2. Найти градиент функции z=x2-y3-y ln x точке А(1;2)

3. Для функции найдите модуль градиента в точке U=xy-y2+ez найдите модуль градиента в точке А(2;2;0)

4. Найдите производную функцию U=0,5 z2 yy-x2—y arcsin (x-2) по направлению вектора ā= (1,2,2) в точке A(2,4,1);

5. Постройте линии уровня функции Z=x2+6x+y2, найдите ее производную по направлениям вектора в точке K(-1;1)

 

10. Кратные и криволинейные интегралы:







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 2148. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия