Вычисление двойного интеграла

 

1. Если область интегрирования является правильной, т.е. D {(x; y): a≤ x≤ b, y₁(x)≤ y≤ y₂(x)}

т.е. а – наименьшее значение x в области D, а b – наибольшее, y1(x) – уравнение нижней границы, y2(x) – уравнение верхней границы, то двойной интеграл сводится к повторному по следующей формуле.

 

2. Если D = {(x; y): c≤ y≤ d, x₁(y)≤ x≤ x₂(y)} т.е. с – наименьшее значение в области Д, d - наибольшее, x₁₍y) – уравнение левой границы области, x₂(y) – уравнение правой границы, то двойной интеграл вычисляется сведением к повторному по формуле:

Если области D не является правильной, то ее разбивают на части, каждая з которых является правильной областью первого или второго вида. Для вычисления повторного интеграла, стоящего в правой части формулы (1), необходимо вычислить сначала внутренний определенный интеграл по переменной y (x считается параметром) затем от полученного результата берется внешний интеграл по x. Аналогично для формулы (2) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (y считается параметром), затем x₁(y) берется внешний интеграл по переменной y..

Переход от правой части формулы (1) к правой части формулы (2) или наоборот, называется изменением порядка интегрирования.

Пример 1

Вычислить двойной интеграл dx dy по области D ограниченной линиями y=1/x; y=x; x=2;

Верхняя ветвь гиперболы y=1/x пересекается с прямой y=x в точке (1; 1). Область D определяется неравенствами 1≤ x≤ 2; 1/x≤ y≤ x Следовательно, форма области D позволяет применить формулу (1)

 

 

Сначала вычисляем внутренний интеграл по y, считая, что x=const

Затем вычисляем внешний интеграл

Следовательно

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

 

(a

Построим область по пределам интегрирования. Она ограничена снизу линией y= , сверху – линией а слева и справа прямыми x=0 и x=2a соответственно. Линия y= является половиной окружности (x-a)2+y2=a2, расположенной над осью Ox.

Центр этой окружности находится в точке с координатами (a; 0), радиус равен R=a линия - ветка параболы y²= расположенная над осью OX

При изменении порядка интегрирования область D разбивается линией y=a на три области D₁; D₂; D₃. Линия y=a касательная к окружности в точке с координатами (a, a). Из уравнения параболы y²= следует: x= y² /2a

Выразим x из уравнения окружности y= Следовательно, области D₁; D₂; D₃.определяются неравенствами:

 

Используя свойство адитивности двойного интеграла относительно отметки области интегрирования, получаем: