Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление двойного интеграла




 

1. Если область интегрирования является правильной, т.е. D {(x;y): a≤x≤b, y1(x)≤y≤ y2(x)}

т.е. а – наименьшее значение x в области D, а b – наибольшее, y1(x) – уравнение нижней границы, y2(x) – уравнение верхней границы, то двойной интеграл сводится к повторному по следующей формуле.

 

2. Если D = {(x;y): c≤y≤d, x1(y)≤x≤ x2(y)} т.е. с – наименьшее значение в области Д , d - наибольшее, x1(y) – уравнение левой границы области, x2(y) – уравнение правой границы, то двойной интеграл вычисляется сведением к повторному по формуле:

 

Если области D не является правильной, то ее разбивают на части, каждая з которых является правильной областью первого или второго вида. Для вычисления повторного интеграла, стоящего в правой части формулы (1), необходимо вычислить сначала внутренний определенный интеграл по переменной y (x считается параметром) затем от полученного результата берется внешний интеграл по x. Аналогично для формулы (2) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (y считается параметром), затем x1(y) берется внешний интеграл по переменной y..

Переход от правой части формулы (1) к правой части формулы (2) или наоборот, называется изменением порядка интегрирования.

Пример 1

Вычислить двойной интеграл dx dy по области D ограниченной линиями y=1/x ; y=x; x=2;

Верхняя ветвь гиперболы y=1/x пересекается с прямой y=x в точке (1;1). Область D определяется неравенствами 1≤x≤ 2; 1/x≤y≤x Следовательно, форма области D позволяет применить формулу (1)  

 

 

Сначала вычисляем внутренний интеграл по y, считая, что x=const

Затем вычисляем внешний интеграл

Следовательно

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

 

(a

Построим область по пределам интегрирования. Она ограничена снизу линией y= , сверху – линией а слева и справа прямыми x=0 и x=2a соответственно. Линия y= является половиной окружности (x-a)2+y2=a2 , расположенной над осью Ox.

Центр этой окружности находится в точке с координатами (a;0), радиус равен R=a линия - ветка параболы y2= расположенная над осью OX

При изменении порядка интегрирования область D разбивается линией y=a на три области D1;D2;D3. Линия y=a касательная к окружности в точке с координатами (a,a). Из уравнения параболы y2= следует: x= y2 /2a

Выразим x из уравнения окружности y= Следовательно, области D1;D2;D3.определяются неравенствами:

 

Используя свойство адитивности двойного интеграла относительно отметки области интегрирования, получаем:

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 700. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия