Економічний зміст двоїстої задачі

Нехай на деякому підприємстві вирішено використати відходи основного виробництва. Для цього планується налагодити випуск виробів широкого вжитку, збут яких у будь-якій кількості забезпечений.

Припустимо, що відходи основного виробництва забезпечують чотири види сировини в кількостях 150, 180, 160 та 80 одиниць відповідно і з них планується виготовляти два види виробів. Нормативні витрати кожного з чотирьох видів сировини на виробництво продукції першого виду – 4, 2, 3, 1 одиниць, а витрати тих же видів сировини на виробництво одиниці продукції другого виду – 0, 6, 2, 3 одиниці відповідно.

Очікуваний прибуток від реалізації одиниці продукції першого виду 30гр., а другого – 20гр. підприємство зацікавлене в максимізації прибутку при виготовленні виробів широкого вжитку.

Вид сировини	Запас ресурсу	Число одиниць сировини, які витрачаються на виготовлення одиниці продукції

 

Позначимо

– кількість одиниць -го виду продукції, запланованих для виготовлення,

– сумарний прибуток при реалізації запланованої виробничої програми.

Тоді математична модель вихідної задачі матиме вид

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Припустимо тепер, що при вивченні питання про використання відходів основного виробництва на підприємстві виявилась друга можливість – пряма реалізація відходів приватній фірмі.

При цьому потенційний покупець вважає за необхідне пропонувати різні варіанти цін на сировину, оскільки вона є відходами виробництва. З’ясуємо умови досягнення угоди про купівлю-продаж, яка б відображала інтереси кожної зі сторін.

З цією метою позначимо через попередню ціну -го виду сировини. Враховуючи інтереси покупця, необхідно мінімізувати загальну вартість сировини:

(3.4)

врахуємо тепер інтереси продавця, згідно із якими пряма реалізація відходів доцільна тільки у випадку, коли виручка від продажу матеріалів, що витрачаються на виготовлення одиниці кожного виробу, не менша, ніж очікуваний прибуток від продажу одиниці готового виробу:

(3.5)

причому, ціни не можуть бути від’ємними, тобто:

. (3.6)

в результаті отримаємо нову задачу ЛП (3.4) – (3.6), яка називається двоїстою або спряженою до вихідної задачі (3.1) – (3.3).

Зауважимо, що в отриманій задачі мається на увазі відносна вартість сировини з точки зору прибутків, отриманих підприємством при переробці цієї сировини в готову продукцію.