Свойства ассоциативности для композиции соответствий

fÍ АхВ, gÍ CхD, hÍ EхF

h° (g°f)= (h° g)°f

g°f Í АхD h° (g°f) Í АхF (h° g)°f Í АхE

Докажем свойство ассоциативности h° (g°f), (h° g)°fÍ АхF.

Зафиксируем элемент аÎ А и подействуем на него (h° (g°f))(а)= h° (g°f)(а)= h(g(f(а))= (h° g)(f(а))= ((h° g) °f)(а).

Композиция отображений. Ее свойства

Пусть f: А®В, g: В®C, тогда

1° g°f является отображением и действием

g°f: А®C

2° если g и f инъективные отображения, то и композиция g°f также инъективное отображение

3° если g и f сюръективные отображения, то и композиция g°f - сюръективное отображение

4° если g и f биективные отображения, то и композиция g°f - биективное отображение

1° Пусть g°f Í АхC, зафиксируем " аÎ А

Доказательство:

Подействуем на этот элемент (g°f)(а)= g(f(а)).

Для доказательства того, что соответствующий f является отображением можно использовать утверждение: " аÎ А |f(а)|=1, f Í АхВ.

Из того, что f и g являются отображением Þ " аÎ А |g°f(а)|=1 Þ g°f: А®C.

2° Зафиксируем элементы " а₁, а₂ Î А.

Доказательство:

Подействуем нашим отображением на а₁ (g°f)(а₁)= (g°f)(а₂) Þ а₁=а_2. Рассмотрим равенство (g°f)(а₁)= g(f(а₁))= g(f(а₂)) Þ f(а₁)= f(а₂) Þ а₁=а_2.

3° Дано: g и f сюръективные

Доказать: g°f сюръективное отображение

Доказательство:

Покажем, что " сÎ С имеет прообраз во множестве А. Зафиксируем " сÎ С. Из того, что g сюръективно следует, что существует bÎ B: g(b)=с.

Так как f сюръективно следует $аÎ А: f(а)=b, g(f(a))=c, (g°f)(a)=c следует
g°f сюръективно.

А f В g С

 

а b c

g°f

4°Доказательство следует из доказательств 2° и 3°.