Основные определения. Пустым множеством называется множество Æ, не содержащее ни одного элемента, т.е

Множества и операции над ними

 

Пустым множеством называется множество Æ;, не содержащее ни одного элемента, т.е. для любого элемента x выполняется Æ;.

Универсальным называется множество U всех элементов, рассматриваемых в данной задаче.

Пример. Пусть U = Z и требуется найти все решения уравнения . Множество М решений этой задачи есть пустое множество: М = Æ.

Пусть теперь U = R. Тогда множество М решений уравнения не пусто: М = .

Будем говорить, что множество А включается во множество В , если каждый элемент множества А является элементом множества В (говорят также, что А является подмножеством множества В). Из определения включения следуют свойства:

1) для любого множества А;

2) Если и , то ;

3) Æ для любого множества А;

4) U для любого множества А.

Подмножество называется собственным подмножеством множества В ( - строгое включение), если А не пусто и не совпадает с В. Например, имеют место строгие включения: N Z Q R.

Определим понятие равенства множеств: А=В тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и , т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А:

Свойства равенства множеств:

1) для любого А справедливо А=A;

2) если А=В, то и В=A;

3) если А=В и В=C, то A=C.

 

1.1.4. Диаграммы Эйлера – Венна

 

Эти диаграммы применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

U

 

A B

 

 

Рис. 1.1 Диаграмма Эйлера-Венна

Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, а произвольные множества – подмножества универсального – в виде кругов (рис. 1.1).

При этом возможны следующие случаи взаимного расположения двух множеств А и В:

1) одно из множеств строго включается в другое ( или );

2) множества равны;

3) множества не имеют общих элементов;

4) множества находятся в общем положении, т.е. не подходит ни один из вышеперечисленных случаев, и множества расположены как на рис. 1.1.