Декартово произведение множеств. Соответствие множеств

 

Декартовым произведением двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x, y)таких, что , а .

Пример 1. Пусть . Тогда

,

.

Очевидно, что , т.е. для операции декартова произведения множеств закон коммутативности не выполняется.

Декартовым произведением множеств будем называть множество всех упорядоченных наборов таких, что Если , то декартово произведение обозначают .

Будем говорить, что задано соответствие q между множествами X и Y, если задана упорядоченная тройка , где . Множество X называется областью отправления, а Y – областью прибытия соответствия q (обозначают ). Каждый элемент y в паре называется образом элемента x (x – прообразом элемента y) при данном соответствии q.

Соответствие называется отображением множества X во множество Y, если каждый элемент имеет образ , т.е.

.

Отображение называется функциональным, если каждый элемент имеет единственный образ :

.

Множество образов при данном отображении обозначается :

.

Если множество совпадает с множеством Y, то говорят, что осуществляет отображение на множество Y.

Соответствие называется взаимно однозначным (биекцией), если

а) является отображением;

б) функционально;

в) отображает X “на” множество Y;

г) из условия следует .

Другими словами, является биекцией, если каждый элемент имеет единственный образ , а каждый элемент имеет единственный прообраз при данном отображении:

(1.2)