Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Вероятностный смысл этих параметров:

– есть математическое ожидание,

– среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Если и , то нормальное распределение называют нормированным.

Плотность нормированного распределения равна .

Эта функция табулирована.

Функция распределения общего нормального распределения равна: ,

а функция нормированного распределения равна .

Функция табулирована.

Заметим, что .

Причем называют квантилью нормированного нормального распределения. Заметим, что нормальному распределению подчиняется наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Он представлен на рис. 2 (, ).

 

 

Рис. 2. График нормальной кривой

 

Заметим, что параметр «» не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если «» возрастает, и влево, если «» убывает.

С возрастанием параметра максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, то есть сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси .

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется, используя функцию Лапласа ,

которая затабулирована.

Тогда . (1)

Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 12 и 3. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (14, 16).

Решение. Воспользуемся формулой:

.

В данном случае , тогда

.

Пример. Пусть случайная величина, представляющая собой предел текучести стали, замерена в некоторой партии. Известно, что предел текучести подчиняется нормальному распределению со средним значением МПа и средним квадратическим отклонением МПа.

Найти вероятность того, что значение предела текучести заключено в интервале МПа и МПа.

Решение. Воспользуемся формулой (20), получим

Ответ: .

§ 1.3. Распределение «хи-квадрат»

Пусть – нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице.

Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону («хи-квадрат») с степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы .

Плотность этого распределения

,

где – гамма-функция; в частности, .

Отсюда видно, что распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы .

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Заметим, что у случайной величины, имеющей распределение «хи-квадрат», математическое ожидание равно , а дисперсия , то есть она имеет следующие числовые характеристики (табл. 2).

Таблица 2

Математическое ожидание
Дисперсия
Коэффициент вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные моменты	, , ,
Центральные моменты	,

 

На рис. 3 представлены графики [1] плотности вероятности распределения.

 

Рис. 3. Плотность вероятности -распределения

Заметим, что точками перегиба функции плотности являются точки (при условии, что – действительное положительное число).

Следует отметить, что при кривая несимметрична, а при уже приближается к симметричной. При кривая приближается к кривой нормального распределения.