Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой
, , (5)
где и , – гамма-функция:
. (6)
Таким образом, гамма-распределение является двухпараметрическим распределением, оно занимает важное место в математической статистике и теории надежности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны .
Если параметр формы кривой распределения – целое число, то гамма-распределение описывает время, необходимое для появления событий (отказов), при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью .
В большинстве случаев это распределение описывает наработку системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы и т. д. При различных количественных значениях параметров гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.
Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенством, если
и : , (7)
где . (8)
Функция распределения . (9)
Заметим, что функция надежности выражается формулой:
. (10)
Гамма-функция обладает свойствами: , , (11)
откуда следует, что если – целое неотрицательное число, то
. (12)
Кроме того, нам в последующем потребуется еще одно свойство гамма-функции: ; . (13)
Пример. Восстановление радиоэлектронной аппаратуры подчиняется закону гамма-распределения с параметрами и . Определить вероятность восстановления аппаратуры за час.
Решение. Для определения вероятности восстановления воспользуемся формулой (9) .
Для целых положительных значений функции , а при .
Если перейти к новым переменным, значения которых будут выражены ; , то получим табличный интеграл:
.
В этом выражении решение интеграла в правой части можно определить по той же формуле:
,
а при будет
.
При и новые переменные будут равны и , а сам интеграл будет равен

.
Значение функции будет равно
.
Ответ: .
Найдем числовые характеристики случайной величины , подчиненной гамма-распределению
.
В соответствии с равенством (13) получим . (14)
Второй начальный момент найдем по формуле
,
откуда . (15)
Заметим, что при интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия. При интенсивность отказов возрастает, что характеризует период изнашивания и старения элементов.
При гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга -го порядка:
, . (16)
Здесь достаточно лишь указать, что закону Эрланга -го порядка подчинена сумма независимых случайных величин , каждая из которых распределена по показательному закону с параметром . Закон Эрланга -го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским (простейшим) потоком с интенсивностью .
Действительно, пусть имеется такой поток событий во времени (рис. 6).

Рис. 6. Графическое представление пуассоновского потока событий во времени
Рассмотрим интервал времени , состоящий из суммы интервалов между событиями в таком потоке. Можно доказать, что случайная величина будет подчинена закону Эрланга -го порядка.
Плотность распределения случайной величины , распределенной по закону Эрланга -го порядка, может быть выражена через табличную функцию распределения Пуассона:
, , (17)
где .
Если значение кратно и , то гамма-распределение совпадает с распределением хи-квадрат .
Заметим, что функцию распределения случайной величины можно вычислить по следующей формуле:
, (18)
где определяются выражениями (12) и (13).
Следовательно, имеют место равенства, которые нам в дальнейшем пригодятся:
; . (19)
Пример. Поток производимых на конвейере изделий является простейшим с параметром . Все производимые изделия контролируются, бракованные укладываются в специальный ящик, в котором помещается не более изделий, вероятность брака равна . Определить закон распределения времени заполнения ящика бракованными изделиями и величину , исходя из того, чтобы ящик с вероятностью не переполнялся в течение смены.
Решение. Интенсивность простейшего потока бракованных изделий будет . Очевидно, что время заполнения ящика бракованными изделиями распределено по закону Эрланга
с параметрами и :
,
следовательно (18) и (19): ; .
Число бракованных изделий за время будет распределено по закону Пуассона с параметром . Следовательно, искомое число нужно находить из условия . (20)
Например, при [изделие/ч]; ; [ч]
из уравнения при 
.
Случайная величина, имеющая распределение Эрланга, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 6).
Таблица 6
Плотность вероятности
| , ,
где – параметр масштаба ;
– параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
| Функция распределения
|
| Характеристическая функция
|
| Математическое ожидание
|
| Мода
|
| Дисперсия
|
| Асимметрия
|
| Эксцесс
|
| Начальные моменты
| , ,
,
| Центральные моменты
| ,
|
Заметим, что случайная величина, имеющая нормированное распределение Эрланга -го порядка, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 7).
Таблица 7
Плотность вероятности
| , ,
где – параметр масштаба ;
– параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
| Функция распределения
|
| Характеристическая функция
|
| Математическое ожидание
|
| Мода
|
| Дисперсия
|
| Коэффициент вариации
|
| Асимметрия
|
| Эксцесс
|
| Начальные моменты
| , ,
,
| Центральные моменты
| ,
|
Рекомендуемые страницы:
|