Неотрицательная случайная величина
имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой
,
, (5)
где
и
,
– гамма-функция:
. (6)
Таким образом, гамма-распределение является двухпараметрическим распределением, оно занимает важное место в математической статистике и теории надежности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны
.
Если параметр формы кривой распределения
– целое число, то гамма-распределение описывает время, необходимое для появления
событий (отказов), при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью
.
В большинстве случаев это распределение описывает наработку системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы и т. д. При различных количественных значениях параметров гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.
Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенством, если
и
:
, (7)
где
. (8)
Функция распределения
. (9)
Заметим, что функция надежности выражается формулой:
. (10)
Гамма-функция обладает свойствами:
,
, (11)
откуда следует, что если
– целое неотрицательное число, то
. (12)
Кроме того, нам в последующем потребуется еще одно свойство гамма-функции:
;
. (13)
Пример. Восстановление радиоэлектронной аппаратуры подчиняется закону гамма-распределения с параметрами
и
. Определить вероятность восстановления аппаратуры за
час.
Решение. Для определения вероятности восстановления воспользуемся формулой (9)
.
Для целых положительных значений
функции
, а при
.
Если перейти к новым переменным, значения которых будут выражены
;
, то получим табличный интеграл:
.
В этом выражении решение интеграла в правой части можно определить по той же формуле:
,
а при
будет
.
При
и
новые переменные будут равны
и
, а сам интеграл будет равен

.
Значение функции
будет равно
.
Ответ:
.
Найдем числовые характеристики случайной величины
, подчиненной гамма-распределению
.
В соответствии с равенством (13) получим
. (14)
Второй начальный момент найдем по формуле
,
откуда
. (15)
Заметим, что при
интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия. При
интенсивность отказов возрастает, что характеризует период изнашивания и старения элементов.
При
гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при
гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если
принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга
-го порядка:
,
. (16)
Здесь достаточно лишь указать, что закону Эрланга
-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин
, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром
. Закон Эрланга
-го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским (простейшим) потоком с интенсивностью
.
Действительно, пусть имеется такой поток событий во времени (рис. 6).

Рис. 6. Графическое представление пуассоновского потока событий во времени
Рассмотрим интервал времени
, состоящий из суммы
интервалов между событиями в таком потоке. Можно доказать, что случайная величина
будет подчинена закону Эрланга
-го порядка.
Плотность распределения случайной величины
, распределенной по закону Эрланга
-го порядка, может быть выражена через табличную функцию распределения Пуассона:
,
, (17)
где
.
Если значение
кратно
и
, то гамма-распределение совпадает с распределением хи-квадрат
.
Заметим, что функцию распределения случайной величины
можно вычислить по следующей формуле:
, (18)
где
определяются выражениями (12) и (13).
Следовательно, имеют место равенства, которые нам в дальнейшем пригодятся:
;
. (19)
Пример. Поток производимых на конвейере изделий является простейшим с параметром
. Все производимые изделия контролируются, бракованные укладываются в специальный ящик, в котором помещается не более
изделий, вероятность брака равна
. Определить закон распределения времени
заполнения ящика бракованными изделиями и величину
, исходя из того, чтобы ящик с вероятностью
не переполнялся в течение смены.
Решение. Интенсивность простейшего потока бракованных изделий будет
. Очевидно, что время
заполнения ящика бракованными изделиями распределено по закону Эрланга
с параметрами
и
:
,
следовательно (18) и (19):
;
.
Число бракованных изделий за время
будет распределено по закону Пуассона с параметром
. Следовательно, искомое число
нужно находить из условия
. (20)
Например, при
[изделие/ч];
;
[ч]
из уравнения
при 
.
Случайная величина, имеющая распределение Эрланга, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 6).
Таблица 6
Плотность вероятности
| , ,
где – параметр масштаба ;
– параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
|
Функция распределения
|
|
Характеристическая функция
|
|
Математическое ожидание
|
|
Мода
|
|
Дисперсия
|
|
Асимметрия
|
|
Эксцесс
|
|
Начальные моменты
| , ,
,
|
Центральные моменты
| ,
|
Заметим, что случайная величина, имеющая нормированное распределение Эрланга
-го порядка, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 7).
Таблица 7
Плотность вероятности
| , ,
где – параметр масштаба ;
– параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
|
Функция распределения
|
|
Характеристическая функция
|
|
Математическое ожидание
|
|
Мода
|
|
Дисперсия
|
|
Коэффициент вариации
|
|
Асимметрия
|
|
Эксцесс
|
|
Начальные моменты
| , ,
,
|
Центральные моменты
| ,
|