Система непрерывных случайных величин

Пусть – непрерывная двумерная случайная величина. Условной плотностью распределения составляющих , при данном значении , называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения , составляющей [5]:

. (4)

Подчеркнем, что отличие условной плотности от безусловной плотности состоит в том, что функция дает распределение при условии, что составляющая приняла значение ; функция же дает распределение независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая .

Аналогично определяется условная плотность составляющей при данном значении : . (5)

Если известна плотность совместного распределения , то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам

, (6)

. (7)

Запишем формулы (4) и (5) в виде: , .

Таким образом, умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами: , ;

, .

Пример. Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения: .

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей , при

по формуле (6):

.

Так как , при , то , при .

Аналогично находим условную плотность составляющей .

.

Так как , при , то , при .

Таким образом: ,

.