Числовые характеристики системы двух случайных величин

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции [3].

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

.

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу: ,

а для непрерывных величин формулу

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами и . Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если и независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то и – зависимые случайные величины.

Замечание 1. Учитывая, что отклонения есть центрированные случайные величины, корреляционный момент можно определить как математическое ожидание произведения центрированных случайных величин: .

Замечание 2. Легко убедиться, что корреляционный момент можно записать в виде .

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: .

Так как размерность равна произведению размерностей величин и , имеет размерность величины , имеет размерность величины , то – безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин и не превышает среднего геометрического их дисперсий:

.

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: .