Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

 

Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

.

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения системы случайных величин по известной функции распределения

.

Решение. По определению плотности совместного распределения,

.

Найдем частную производную по от функции распределения:

Найдем от полученного результата частную производную по :

.

Искомая плотность совместного распределения равна

.

 

Рис. 5. Графическое представление вероятности попадания случайной точки в прямоугольник

 

Двумерная плотность вероятности имеет следующий вероятностный смысл: вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD (рис. 5) равна

 

 

Рис.6. Графическое представление двумерной плотности вероятности

 

Заметим, что для того, чтобы вычислить вероятность попадания случайной точки в область (рис. 17), достаточно найти двойной интеграл по области от функции . .

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен 1: .