Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее , и при этом примет значение, меньшее , обозначим через . Если и будут изменяться, то будет изменяться и , то есть есть функция от и .

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел , вероятность того, что примет значение, меньшее , и при этом, примет значение, меньшее .

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 2).

 

 

Рис. 2. Геометрическая интерпретация функции распределениядвумерной случайной величины

Функция распределения обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству .

Свойство 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, то есть

, если ;

, если .

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Свойство 4:

а) При функция распределения системы становится функцией распределения, составляющей : .

б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей : .

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая двумерной случайной величины примет значение и при этом составляющая примет значение , если известна функция распределения системы:

.

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины .

Пусть , , получим искомую вероятность: