Гипернормальное распределение (HN-распределение)

Дифференциальное уравнение, определяющее функцию распределения наибольшего значения случайной величины из выборки объёма имеет следующий вид

, (2)

где и – математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности случайных величин.

Нелинейное дифференциальное уравнение (2) удовлетворяет естественным краевым условиям и ему соответствует функция распределения исходной случайной величины, определяемая в результате решения следующего дифференциального уравнения с теми же краевыми условиями

. (3)

Дифференциальное уравнение (2), определяющее функцию распределения наибольшего значения, является уравнением Эйлера-Лагранжа следующей экстремальной задачи:

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

. (9)

Для того чтобы определить функции и , обеспечивающие максимум функционала (4) при наличии голономной связи (9) и при изопериметрических условиях (5)-(8), необходимо использовать теоремы вариационного исчисления и определить множители Лагранжа.

Согласно известным теоремам вариационного исчисления введем множители и функцию Лагранжа , , , и составим уравнение Эйлера- Лагранжа для расширенной функции

,

.

Так как ,

, , ,

то уравнения Эйлера-Лагранжа для расширенной функции имеют вид:

, (10)

.

Последнее уравнение с учётом (10) можно записать виде:

.

После подстановки уравнение экстремалей в рассматриваемой вариационной задаче имеют вид:

(11)

и

.(12)

Проинтегрируем уравнение (12) по области задания функции распределения , применяя к первому слагаемому интегрирование по частям. В силу определенных свойств функции распределения и краевых условий можно убедиться, что интеграл от левой части уравнения (12) будет равен 0, а множителе Лагранжа и будут связаны с математическим ожиданием следующим конечным соотношением:

.

Отсюда следует .

Умножив левую и правую части уравнения (12) на независимую переменную и проинтегрировав аналогичным образом полученное уравнение, можно найти второе конечное соотношение, связывающее множитель с математическим ожиданием и дисперсией. Действительно, так как

,

то интегрирование левой части полученного в результате умножения на независимую переменную нового дифференциального уравнения дает следующий результат

,

(первое слагаемое после раскрытия неопределенности дает 0).

Таким образом

Отсюда следует, что .

Подстановка множителей Лагранжа и в дифференциальное уравнение (11) позволяет убедиться в справедливости дифференциальных уравнений (2) и (3).

Эти уравнения неразрешимы в квадратах при , что не позволяет в аналитическом виде представить функцию гипернормального распределения. В Приложении представлены значения функции гипернормального распределения и его плотности для целочисленных параметров от 1 до 10, удовлетворяющих решению краевой задачи (2). Вычисление значений функций произведено для стандартных условий . Переход от заданных значений случайных величин к табличным производится с помощью

следующей зависимости

.

Таблицы четырехзначные, такой выбор числа знаков обусловлен тем, что в практике исходные данные для вероятностных расчетов известны, как правило, с точностью не более чем 2-3 знака после запятой. Усечение таблицы значений функции гипернормального распределения связано с основными свойствами этого распределения, которые рассматриваются ниже.