Квантильная функция экстремального М-распределения (m-распределения)

Адекватность описания процессов, происходящих на экспериментальном уровне, предполагает полноту набора черт в отображении реального объекта. Однако учесть все реальные черты объекта невозможно, достаточно принять во внимание главные, позволяющие при четкой постановке задач статистического анализа, использовать математический аппарат построения экстремальных распределений экстремальных величин, базирующемся на эмпирическом факте и аксиоматическом подходе постулирования ожидаемого значения случайной величины (ее математического ожидания ).

В связи с этим рассмотрим экстремальное распределение экстремальной случайной величины, математическое ожидание исходной функции распределения которого характеризуется первым моментом. В этом случае, когда в результате статистического обследования ситуации выявлена лишь информация о среднем значении показателя, то экстремальное распределение максимального значения параметра определяется решением дифференциальным уравнением

(25)

при граничных условиях .

Справедливость этого положения вытекает из следующего утверждения.

Пусть случайная величина с плотностью – функция распределения максимального значения из совокупности, определяемой случайной величиной . Пусть далее известно математическое ожидание случайной величины .

Тогда максимум энтропии достигается на распределении, удовлетворяющем дифференциальному уравнению (25) с функцией квантилей

. (26)

Дифференциальное уравнение (26) является уравнением Эйлера-Лагранжа следующей вариационной задачи

, ,

, (27)

, .

Формальное интегрирование уравнения Эйлера-Лагранжа при дает экспоненциальный закон распределения, а при приводит к зависимости вида

. (28)

Используя подстановку , интеграл (28) преобразуем к табличному

,

где – гипергеометрическая функция Гаусса.

Отсюда (29)

или ,

где , .

Из условия нормировки для функции распределения вытекает следующее соотношение

.

Действительно, функции квантилей, определяемые из соотношения (29) имеют вид

для исходной случайной величины и для максимального значения из совокупности случайных величин.

При , , .

Гипергеометрическая функция Гаусса в обобщенном виде может быть представлена в виде следующего ряда:

,

где .

При ряд (30)

должен расходиться.

По признаку Даламбера ряд (30) будет расходиться, если отношение

или после преобразований .

Для определения значения плотности в начальной точке проинтегрируем соотношение (28) с учётом полученного значения для

.

Левая часть уравнения в соответствии с определением представляет собой произведения значения плотности распределения в нуле на математическое ожидание исходной случайной величины. Можно показать, что правая часть уравнения равна единице. Действительно, представив гипергеометрическую функцию в виде ряда и поменяв порядок суммирования и интегрирования, определим

Ряд можно представить в виде разности двух рядов

,

которая после преобразования может быть представлена следующим образом:

Таким образом и множитель Лагранжа

Подстановка значения множителя Лагранжа в дифференциальное уравнение (28) позволяет убедиться в справедливости дифференциального уравнения (25) и функции квантилей (26).

Кратко остановимся на методе определения математического ожидания наибольшего значения для рассматриваемого случая. Способом, аналогичным тому, который был применен при выводе формулы для определения значения плотности в нуле можно показать,

что

.

Для этого достаточно проинтегрировать функцию квантилей (26)

.

Представив гипергеометрическую функцию в виде ряда и переставив операции суммирования и интегрирования, найдем

.

Таблица 3. Значения суммы

	1, 0	1, 647	2, 320	2, 998	3, 678
	4, 398	5, 085	5, 772	6, 459	7, 146

В табл. 3 приведены значения суммы , позволяющие производить оценку математического ожидания максимального значения из выборок объёмом до 10 (при можно пользоваться, как будет показано ниже, асимптотическими свойствами полученных экстремальных распределений экстремальных величин).

Функция квантилей экстремального распределения, определяемого дифференциальным уравнением (25) асимптотически приближается к функции

. (31)

Действительно, в дифференциальном уравнении при и дифференциальное уравнение имеет решение (29).

Математическое ожидание случайной величины в этом случае определяется следующим образом

.

Пример. Наблюдается дискретный случайный процесс , в первой точке наблюдения зафиксировано его значение . Каково математическое ожидание максимального значения во второй точке.

Решение. В качестве оценки математического ожидания средней процесса при одном наблюдении естественно принять . Тогда используя табл. 3 средних значений .