Закон распределения коэффициента вариации

Идентификация случайных последовательностей, нестационарных случайных процессов и их производных по первым реализациям динамического ряда обусловливает необходимость введения в рассмотрение выборочного распределения коэффициента вариации. Коэффициентом вариации (коэффициентом изменчивости выборки) является отношение , (13)

где и – среднее значение и дисперсия выборки соответственно.

Гауссово распределение не обладает тем свойством, что случайная величина может принимать только положительные значения, однако если достаточно велико (более 3), то центральные моменты такого распределения будут с достаточной точностью равны соответствующим моментам полного нормального распределения.

В этом случае , , (14)

где – дисперсия величины .

Величина является величиной непрерывного типа, следовательно, функция распределения всюду непрерывна, а плотность вероятности может быть определена следующим образом .

Не нарушая общности рассуждений и с целью использования зависимости (2) определим плотность распределения величины, обратной выборочному коэффициенту вариации , для выборки из гауссовой генеральной совокупности с дисперсией и средним .

Если каждая из независимых величин нормальна , то величины независимы и нормальны (0, 1). Таким образом, плотность вероятности величины равна

. (15)

Среднее арифметическое распределено нормально .

Поэтому можно показать, что плотность можно определить следующим образом . (16)

При – нечетном (17)

При – четном

. (18)

После соответствующих преобразований плотность распределения величины будет иметь вид . (19)

Учитывая, что , получаем следующий результат.

Теорема 5. Пусть , тогда для выборки плотность распределения выборочного коэффициента вариации

имеет вид . (20)