Экстремальные распределения минимальных величин

Рассмотрим некоторые особенности построения экстремальных распределений минимальных величин.

Экстремальной распределение минимальной величины

определяется решением дифференциального уравнения

(32)

где – математическое ожидание и дисперсия совокупности исходных случайных величин.

Это дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа вариационной задачи, аналогичной задаче (4, …, 9) Отличие в постановке вариационной задачи заключается в замене связи (9) зависимостью

(33)

Нелинейное дифференциальное уравнение (33) удовлетворяет естественным краевым условиям (34)

и полностью определяется первыми двумя центральными моментами исходной случайной совокупности и параметром (объёмом выборки).

Свойства функции аналогичны свойствам функции , поэтому экстремальному распределению этого типа соответствует функция распределения исходной случайной величины, определяемая в результате решения дифференциального уравнения (32) с граничными условиями (34).

При значениях аргумента экстремальное распределение асимптотически сближается с нормальным распределением с плотностью:

.

При экстремальное распределение соответствует квантильная функция . (35)

В качестве примера определим математическое ожидание размаха для .

Если выборка из генеральной совокупности характеризуется только математическим ожиданием, то экстремальное распределение

определяется в результате решения дифференциального уравнения

, (36)

где – математическое ожидание совокупности исходных случайных величин.

Дифференциальное уравнение (36) удовлетворяет краевым условиям:

(37)

и полностью определяется параметрами и .

Экстремальному распределению этого типа соответствует функция квантилей, отображающая в . (6.38)

Математическое ожидание случайной величины определяется по зависимости: . (39)

При экстремальное распределение асимптотически сближается с равномерным с математическим ожиданием

. (40)

Особенности экстремальных распределений вытекают из следующих соображений. Дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа вариационной задачи, аналогичной задаче (27).

Отличие в постановке задачи заключается в замене последней голономной связи зависимостью , определяющей функцию распределения наименьшего значения через функцию распределения исходной случайной величины .

Интегрирование дифференциального уравнения (36) позволяет получить функцию квантилей (38), а осуществление предельного перехода зависимость (41). Характерной особенностью этих распределений является то, что они реализуются в классе финитных функций (усеченных слева). Следует также заметить, что зависимости для математических ожиданий наименьших значений (39) и (41) могут найти практическое применение при экспресс-оценке выборок из неизвестной генеральной совокупности.

 

Вопросы для самопроверки по разделу 5

1. Что называется распределением экстремальных значений?

2. Как используется принцип максимума неопределенности при формировании наблюдаемых экстремальных величин?

3. Приведите примеры построения модели экстремальных величин на основе принципа максимума неопределенности?

4. Какие есть особенности построения экстремальных распределений минимальных величин?