Метод построения законов распределения статистик

Идентификация случайных процессов, экспресс-оценка момента их «разладки» и прогнозирование дальнейшего их развития на основе первых наблюдений может быть сведена к процедуре проверки статистических гипотез. В соответствии с этим в тестах проверки небольших последовательностей случайных чисел (коротких динамических рядов) необходимо использование некоторых функций от наблюдаемых случайных величин по терминологии Р.Фишера (статистик), законов их распределений и критериев проверки гипотез. Многие вводимые далее в рассмотрение статистики имеют форму , где и независимые случайные величины и . Обозначим их функции распределения через и , а их плотности через и соответственно. Так как величина предполагается положительной, то сосредоточена на интервале , и поэтому

, (1)

дифференцируя, находим, что отношение обладает плотностью

. (2)

Такой прием называется рандомизацией [12] и означает рассмотрение знаменателя величины как случайной величины .

Используя метод рандомизации, докажем ряд теорем, которые окажутся полезными в дальнейших приложениях.

Теорема 1. Пусть и – независимые случайные величины, плотности которых имеют вид (3)

и , (4) тогда отношение обладает плотностью

. (5)

Доказательство. В соответствие с (2)

. (6)

В последнем выражении интеграл является интегралом от плотности гамма-распределения и, естественно, равен единице.

После несложных преобразований соотношение (6) может быть преобразовано в выражение для плотности (5). Теорема доказана.

Из теоремы 1. в силу большой общности гамма-распределения вытекает ряд полезных следствий, позволяющих оценить момент разладки простейшего потока, потока Эрланга и др. Так, например, если отношение представляет собой отношение двух показательно распределенных случайных независимых величин с параметром , то плотность их отношения имеет вид . (7)

Если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром , а величина распределена по экспоненциальному закону с параметром , то плотность их отношения имеет вид

, (8)

где .