Уравнение прямой на плоскости, различные виды уравнений

Угол между прямыми.

На координатной плоскости XOY положение прямой определяется углом α, где α – угол наклона прямой к оси OX и отрезком “b”, который они отсекают на оси OY.

Чтобы написать уравнение этой прямой, возьмём на ней произвольную точку М (x, y) и найдём соотношение между её координатами (см. рис. 2.1). Из треугольника BMС имеем: или в координатной форме: – угловой коэффициент прямой, обозначается k. Отсюда или => y = kx + b – получили уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1. Уравнение прямой через данную точку (см. рис. 2.1)

 

Рис. 2.1

 

Возьмем на прямой точки M (x, y), M ₁(x ₁, y ₁).

Составим треугольник MM ₁ C. Из него получим:

(1).

CM = y – y ₁, M ₁ C = x – x ₁ подставим (1) или

y – y ₁ = k (x – x ₁) – уравнение через точку M ₁ (см. рис. 2.2).

Рис.2.2

 

2. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М ₁ и М ₂ можно вывести аналогично из подобия треугольников ММ ₁ D и М ₁ М ₂ C

или (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

 

3. Общий вид уравнения прямой.

Замечаем, что все полученные уравнения обладают тем свойством, что во все уравнения координаты текущей (произвольной) точки M (x, y) входят линейно, т.е. в степени.

Все эти уравнения являются частным случаем уравнения вида: Ax + By + C = 0, где A, B, C – произвольные постоянные числа.

Построим прямую по её общему уравнению.

Задача 2.1: Построить прямую по её общему уравнению
3 x – 4 y + 12=0.