Возможные (допустимые) и подходящие направления

Определение 3.15. Направление (вектор) S ¹ 0 называетсявозможным (допустимым) в точке хÎ Х, если существует такое l₀ > 0, чтодля всех lÎ [0, l₀] выполняется х+lS Î X_0.

На рис.3.12 показаны примеры возможных направлений.

Множество возможных направлений образует конус, который мы будем обозначать через К_р (х).

x ₁ Определение 3.16. Возможное направление

S в точке хÎ Х назовем подходящим по Парето (Слейтеру), если существует l₀ > 0 такое, что ля всех lÎ (0, l₀] справедливо неравнство х+lS £ х.

Множество подходящих по Парето и подходящих по Слейтеру направлений образуют конусы, которые обозначим соответственно К_p^p и K_p^S, причем K_p^SÌ К_p^p

x ₂ (обратное не справедливо).

Рис. 3.12. Определение 3.17. Функцию j ⁰(x) назовем

постоянной в точке х по направлению S, если существует l₀ > 0 такое, что для всех lÎ [0, l₀) функция j⁰(x+lS)=j(x).

Определение 3.18. Будем говорить, что функция j_i(x), iÎ M удовлетворяет условию регулярности R1(M), если для любых хÎ Е_n, SÎ Е_n и iÎ M j_i(x) не является постоянной.

Замечание. Если функции j_i(x), iÎ M удовлетворяют условию регулярности R1(M), то предпочтения по Слейтеру и Парето можно не различать. Если |М| = 1, то понятие предпочтения по Слейтеру и Парето можно не различать и при нарушении условия. Это вытекает из определения этих предпочтений.

Теорема. 3.16. Пусть Х – выпуклое множество. Для того, чтобы х^*Î Х было точкой локального оптимума Парето (Слейтера) необходимо, чтобы К_p^p(х^*) = Æ, (К_p^S(х^*) = Æ

Доказательство. Докажем для случая, когда предпочтение имеет вид < ß. Для предпочтения ß доказательство аналогично.

Пусть х* - точка локального оптимума Парето, т. е. не существует х < ß ХÇ 0_e (х). Предположим противное. Пусть К_p^p(х^*) ¹ Æ и возьмем xÎ К_p^p(х^*). Для достаточно малых l > 0, x* + l xÎ X и x* + l xÎ x*, что противоречит условию теоремы, таким образом К_p^p (х^*) = Æ;.

Теорема. 3.17. Если j_i(x), iÎ M выпуклые функции, Х – выпуклое множество, тогда любая точка локального оптимума (как по Парето, так и по Слейтеру) будет точкой глобального оптимума.

Доказательство. Доказательство проведем для оптимальности по Слейтеру. Оптимальность по Парето доказывается аналогично.

Пусть х* точка локального оптимума по Слейтеру и предположим, что она не является глобальным оптимумом. Это означает, что существует х'Î Х, для которого j_k(х') < j_k(х*) для всех kÎ M.

Положим х= x* + a(x'-x*), aÎ (0, 1). Из выпуклости j_k(х), k Î M для всех aÎ (0, 1) j_k(х*+a(x'-x*))£ j_k(х*)+a(j_k(х') -j_k(х*))< j_k(х*) для всех kÎ M.

При достаточно малых a> 0, х=x* + a(x'-x*) будет находиться в любой достаточно малой окрестности х*, при этом j_k(х) < j_k(х*), для всех kÎ M.

Полученное противоречие и доказывает теорему. Для оптимальности по Парето знак строго неравенства выполняется лишь для некоторых k, для всех остальных это неравенство не строгое.

Следствие 3.8. При выполнении условий предыдущей теоремы локальное множество Парето (Слейтера) является множеством Парето (Слейтера).