Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале [6;11]. Найти математическое оидание и дисперсию величины Х

Решение:

Найдем f(x)=F’(x)

Вероятность попадания в интервал:

Математическое ожидание

Дисперсия:

 

Задача 18

1)

2) Мода (Мо) – это величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто

Мо=3, 15

3) Медиана (Mе) – это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Ме=(7-0, 5)/2=3, 25

4) Среднее выборочное значение

М(x)=3

5) Асимметрия

Наличие правосторонней асимметрии указывает на положительную величину коэффициента асимметрии

As> 0

6) Эксцесс

Ex > 0 - островершинное распределение

Задача 19

Решение:

Для удобства отсортируем данные по возрастанию:

3; 3, 23; 3, 34; 3, 4; 3, 67; 3, 88; 4, 02; 4, 03; 4, 14; 4, 29; 4, 3; 4, 42; 4, 43; 4, 44; 4, 46; 4, 48; 4, 59; 4, 62; 4, 64; 4, 68; 4, 72; 4, 74; 4, 81; 4, 83; 4, 84; 4, 87; 4, 88; 4, 9; 5, 01; 5, 08; 5, 09;

5, 17; 5, 18; 5, 2; 5, 22; 5, 22; 5, 23; 5, 3; 5, 31; 5, 32; 5, 32; 5, 32; 5, 33; 5, 39; 5, 46; 5, 47;

5, 49; 5, 55; 5, 64; 5, 65; 5, 77; 5, 8; 5, 87; 5, 87; 5, 89; 5, 9; 5, 94; 6, 14; 6, 16; 6, 18; 6, 24;

6, 35; 6, 4; 6, 44; 6, 46; 6, 48; 6, 49; 6, 61; 6, 68; 6, 73; 6, 76; 7, 15; 7, 19; 7, 37; 7, 4; 7, 59;

7, 69; 8, 03; 8, 03; 9

 

Разбиваем на интервалы.

Ширина интервала составит:

 

 

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

 

Группы	xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
3 – 4	3.5				12.08	24.3	0.075
4 – 5	4.5				22.28	22.55	0.28
5 – 6	5.5		159.5		0.36	0.00453	0.36
6 – 7	6.5				13.83	13.65	0.18
7 – 8	7.5				11.93	23.7	0.075
8 – 9	8.5		25.5		8.96	26.78	0.0375
Сумма					69.43	110.99

 

Медиана.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 5 - 6, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

 

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 5.41

 

Среднее значение

 

 

Выборочная дисперсия

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 5.51 в среднем на 1.18

Гистограмма частот Х

N(2≤ x≤ 3)=0

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

 

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 5, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

 

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 5.32

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As = M₃/s³

где M₃ - центральный момент третьего порядка.

s - среднеквадратическое отклонение.

M₃ = 68.84/80 = 0.86

 

Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя:

 

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M₄/s⁴ = 3.

M₄ = 467.45/80 = 5.84

 

Число 3 вычитается из отношения μ ⁴/ σ ⁴ потому, что для нормального закона распределения μ ⁴/ σ ⁴ = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Ex > 0 - островершинное распределение