Коректність постановки крайових задач

Сукупність диференціального рівняння теплопровідності й умов однозначності (початкові і граничні умови, фізичні характеристики матеріалу, геометричні розміри тіла), що описують даний процес, називають математичною моделю процесу.

Задача про визначення невідомої функції із системи рівнянь, що описують процес теплообміну, називається крайовою задачею теорії теплопровідності.

В залежності від того, які величини, входять у математичну модель, невідомі, можна виділити два види задач:

1. Пряма задача. Визначити температурне поле, якщо відомо диференціальне рівняння процесу і задані додаткові умови, що цілком визначають крайову задачу.

2. Обернена задача. Визначити граничні умови або коефіцієнти, що входять в основне диференціальне рівняння, якщо відомі математичний опис процесу і температурне поле.

Надалі обмежимося розглядом тільки прямих задач. Крайові задачі можна також розділити на лінійні і нелінійні. До першого відносяться задачі, математичний опис яких складається тільки з лінійних рівнянь, тобто рівнянь, лінійних щодо невідомої функції (температури) і її похідних. Якщо хоча б одне рівняння математичної моделі нелінійне, то і крайова задача стає нелінійною. Нелінійність може бути зосереджена в різних членах рівняння і крайових умов. У залежності від цього нелінійні крайові задачі класифіковані в такий спосіб:

1. крайова задача з нелінійністю I роду – від температури залежать теплопровідність l(Т) або об'ємна теплоємність С_v(T);

2. крайова задача з нелінійністю II роду – від температури нелінійно залежить густина теплового потоку на поверхні тіла q_s(T_s);

3. крайова задача з нелінійністю III роду – від температури нелінійно залежить об'ємна густина теплового потоку q_v(T).

Така класифікація певною мірою умовна, тому що, наприклад, задачі з фазовими переходами можна віднести до задач з нелінійністю як I, так II і III родів – у залежності від способу обліку виділення теплоти фазових перетворень.

Рішення нелінійних задач представляє набагато більші математичні труднощі, чим рішення лінійних і вимагає використання, як правило, більш громіздких і трудомістких методів. Методи, розроблені для рішення нелінійних задач, можуть застосовуватися і для рішення лінійних задач, але не навпаки.

Існуючі методи рішення крайових задач теплопровідності можна класифікувати різними способами і за різними ознаками. Виходячи з форми, у якій виходять результати рішення, методи розподіляють на дві великі групи: аналітичні і чисельні. До першої групи відносяться методи, що дозволяють знайти рішення у вигляді формули, підставивши в яку задане значення аргументу, можна визначити відповідне значення шуканої функції. До другого – методи, що дозволяють одержати чисельне значення шуканої функції для деяких заданих заздалегідь значень аргументу, тобто дискретне рішення.

Аналітичні методи можуть бути точними, якщо формулу рішення вдається розкрити і довести до числа без витрат, і наближеними, якщо такі витрати є (наприклад, відкидаються якісь члени ряду, приблизно обчислюється інтеграл). Чисельні методи завжди наближені, тому що засновані на заміні вихідних диференціальних рівнянь алгебраїчними.

Аналітичні методи переважають чисельні у тому розумінні, що дозволяють одержати більш наочні рішення, зручні для проведення аналізу впливу різних параметрів на результати.

Чисельні методи рішення хоча і менш наочні, але зате можуть бути отримані для більш широкого класу задач, включаючи ті складні задачі, що аналітичними методами вирішувати неможливо.

Для рішення лінійних крайових задач теорії теплопровідності використовуються:

1. Класичні методи: поділу змінних (метод Фур'є), функції джерел (функції Гріна), теплових потенціалів.

2. Інтегральні перетворення в кінцевих межах (кінцеві косинус і синус-перетворення Фур'є, перетворення Лежандра і ін.), у нескінченних межах (Фур'є, Лапласа, Ханкеля, Меллина, Бесселя, Канторовича-Лебедева, Майера й ін.).

Для рішення нелінійних задач застосовуються:

3. Варіаційні методи (Ритца, Канторовича, Лейбензона, Треффтца, Біо).

4. Методи лінеаризації (зведення нелінійної крайової задачі до лінійного), підстановок (алгебраїчні й інтегральні), послідовних наближень, збурювань (метод малого параметра), ітерацій, прийоми лінеаризації.

5. Методи зважених відрахувань ( проекційні методи), коллокацій, Бубнова-Гальоркіна, моментів, інтегральні.

6. Методи зведення крайових задач до рівнянь і задач інших типів (інтегральним рівнянням, рівнянням у частинних похідних, але відмінних від вихідних, звичайним диференціальним рівнянням): підстановки (алгебраїчні й інтегральні), підстановки готових форм рішення, аналіз розмірностей (метод подібності).

З чисельних методів для рішення нелінійних крайових задач теорії теплопровідності застосовуються наступні:

7. Метод кінцевих відмінностей (метод сіток).

8. Варіаційно-різницеві (локальних варіацій, кінцевих елементів).

9. Метод прямих.

10. Статистичні (імовірні).

Приведена класифікація є далеко не повною і дуже умовна, тому що багато методів групи 6 в окремому випадку можуть виявитися методами лінеаризації. Крім того, для рішення деяких задач застосовуються послідовно два і більше методів. Методи кінцевих відмінностей часто сполучають з ітераціями на кожному тимчасовому шарі, а методи лінеаризації і зведення до рівнянь інших типів (групи 4 і 6) по своїй суті є методами, за допомогою яких змінюється вихідна математична модель і які припускають подальше використання яких-небудь методів для рішення зміненої задачі. Те ж саме можна сказати про метод прямих, що заснований на заміні всіх похідних, крім однієї (наприклад, часу), кінцевими відмінностями. У результаті вийде система диференціальних рівнянь, для рішення якої можна використовувати методи Рунге-Кутта, Адамса й ін.

Відзначимо, що найбільше поширення для рішення нелінійних задач теплопровідності одержали методи кінцевих відмінностей, що пояснюється їх універсальністю, алгоритмічністю, зручністю реалізації рішення на ЕОМ.