Постановка крайових задач теорії теплопровідності

Умови однозначності. Диференціальне рівняння теплопровідності виведене на основі загальних законів фізики й описує цілий клас явищ. У загальному випадку диференціальне рівняння теплопровідності має безліч нескінченних рішень. Щоб з цієї безлічі виділити рішення, що відповідає розглянутому процесу, необхідно до диференціального рівняння приєднати умови, які математично описують всі специфічні особливості процесу. Ці умови в сукупності з диференціальним рівнянням дають повний математичний опис конкретної задачі теплопровідності і називаються умовами однозначності.

Умови однозначності підрозділяються на геометричні, фізичні і крайові.

Геометричні умови задають форму і розміри тіла, у якому протікає процес.

Фізичні умови задають теплофізичні параметри середовища: l - теплопровідність, r -густина, С_v - об'ємну теплоємність, q_v - об'ємну густина теплового потоку.

Крайовими умовами називають сукупність початкових і граничних умов. Початкові умови (тимчасові крайові умови) складаються в завданні розподілу температури в тілі в початковий момент часу і необхідні лише при розгляді нестаціонарних задач. Початкова умова вважається заданою, якщо для деякого моменту часу t₀ (звичайно вибирають t₀ = 0) температура тіла є відомою функцією просторових координат. У загальному випадку початкова умова має вигляд.

T = f(x, y, z) при t = t₀ чи T =½ _{t = tо} = f (x, y, z) (1)

Зустрічаються процеси, у яких можна знехтувати початковими умовами. Наприклад, при нагріванні (охолодженні) тіл кінцевої форми з зовнішніми умовами, що не змінюються, починаючи з деякого моменту t^*, (настає такий момент теплопровідності, при якому розподіл температур у тілі цілком визначається граничними умовами, а початкові умови впливають на температуру тіла лише на проміжку (0 < t < t^*). Граничні умови можуть бути задані декількома способами. Основні з них у теорії теплопровідності називаються граничними умовами I - IV роду.