Решение. 1) Произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

1) Произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

,

где – координаты вектора . Если заданы точки , , то для вектора

,

то есть

.

Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:

;

;

.

Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:

.

Модули найденных векторов

;

;

.

2) Известна формула

,

где – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

.

У нас

,

то есть .

3) Известно, что

,

то есть в нашем случае

.

4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

,

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причем

.

Таким образом, (кв. ед.).

5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле

,

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас , где

,

то есть (куб. ед.).

6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и имеет вид:

.

Подставив координаты точек А и С, получим

,

то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:

или .

7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , можно записать в виде

.

Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим

 

 

4. Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.