Решение. 1) Область определения функции

1) Область определения функции

.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

 

х		–2	(–2; 4)		(4; 10)
	+	+	–	не сущ.	–		+
		max				min

 

.

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х
	–	не сущ.	+

 

 

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

 

у

 

 

 

-4 4 х

 

 

5. Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные изобразить на комплексной плоскости; в виде векторов и записать в показательной и тригонометрической формах.

 

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера . Для этого вычислим главный определитель системы и определители , учитывая, что – комплексное число, где .

Находим :

(т.к. );

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

у

 

 

0, 5

х

-2 0 3, 5

 

 

-2

Найдем модуль и аргумент комплексных чисел ( или ; в 1 и 4 четвертях; во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).

Число принадлежит 3 четверти:

(аргумент );

(модуль ).

Число принадлежит 1 четверти:

;

Запишем числа в показательной и тригонометрической формах:

 

6. а) Вычислить площадь фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью Ох.

б) Найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Ох.