Решение. Изобразим пластинку на плоскости xOy

Изобразим пластинку на плоскости xOy.

у

В

0 А х

Масса неоднородной пластинки выражается через двойной интеграл по формуле: .

В нашем случае область D - треугольник ОАВ, .

Запишем уравнение прямой АВ, используя уравнение прямой в отрезках:

, откуда получаем ; область D задаётся как решение системы неравенств

Вычислим массу m, переходя от двойного к повторному интегралу:

 

12. а) (Только для профиля ТСА.)Вычислить работу, совершаемую переменной силой по прямой, соединяющей точки М (1; 1) и N (2; 3).

 

б) (Только для профилей ЭОЭТ и ЭОП.) Проверить, что векторное поле потенциально; найти потенциал поля и работу, совершаемую силой при переходе из точки М (1; 2) в точку N (3; 5).

 

Решение. а) Для того чтобы найти работу, совершаемую переменной силой , вычислим криволинейный интеграл

по прямой, соединяющей точки М (1; 1) и N (2; 3).

Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

.

После преобразований получаем: , поэтому .

Перейдем от криволинейного интеграла к определенному, подставляя полученные нами выражения для y и dy и учитывая, что .

Тогда работа A примет вид

у

 

N

3

 

 

 

1 M

 

0 1 2 х

 

б) Векторное поле имеет вид . Поэтому

, . Найдем частные производные .

Производные совпадают, откуда следует, что поле потенциально.

Потенциал векторного поля находим по формуле

.

Для нашего случая

,

то есть потенциал данного поля равен

.

Проверим, правильно ли мы нашли потенциальную функцию. Для этого должны выполняться следующие условия:

.

В нашем случае:

по условию ,

по условию .

 

В потенциальных полях работа A силы равна разности потенциалов, то есть .

В нашем случае

 

.

 

 

13. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). .

 

 

 

Решение. Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).

Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.

– надежность блока 1–2.

Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:

исправны элементы 3 и 4,

исправен элемент 5,

исправен элемент 6.

– вероятность безотказной работы блока 3–4.

–

надежность блока 3–4–5–6.

Следовательно,

– искомая надежность участка цепи.

 

14. Измерены диаметры для 90 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в табл. 1.

Таблица 1

70, 88	67, 04	69, 20	66, 24	64, 80	71, 52	67, 52	68, 96	67, 36	68, 64
67, 12	66, 96	69, 04	66, 00	66, 00	64, 88	65, 84	67, 52	65, 68	70, 00
70, 80	66, 32	67, 40	66, 08	69, 76	68, 01	65, 76	69, 20	65, 60	66, 72
67, 44	67, 72	68, 72	64, 00	66, 32	68, 21	70, 96	67, 76	66, 88	69, 12
65, 84	64, 88	69, 46	68, 48	65, 04	70, 00	70, 16	68, 72	67, 04	69, 36
66, 48	68, 20	64, 72	70, 40	67, 76	69, 28	71, 20	67, 90	66, 80	70, 24
69, 15	67, 68	69, 36	67.46	65, 48	66, 98	71, 40	68, 15	68, 88	65, 26
64, 71	68, 36	67, 13	66, 18	68, 19	67, 05	68, 90	68, 72	69, 21	68, 14
66, 99	64, 44	68, 05	69, 40	70, 01	68, 76	67, 70	70, 00	71, 32	70, 46

 

Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану.

1) Построить вариационный ряд.

2) Найти точечные оценки математического ожидания (генеральной средней ) и дисперсии случайной величины (признака) .

3) Построить гистограмму относительных частот.

4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения и провести анализ соответствия выборочных данных нормальному закону распределения случайной величины Х.