Равномерное движение точки по окружности

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение ;

.

Единица углового ускорения 1 рад/с².

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения

Векторы и – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы и направлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение. Если угловое ускорение и, следовательно, угловая скорость

, (7.1)

то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (7.1) после разделения переменных получим

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от φ ₀ (начальный угол поворота) до φ, то, интегрируя уравнение в этих пределах:

получаем уравнение равномерного вращательного движения

,

которое в окончательном виде записывается так:

.

Если , то

.

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

или при .

2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение

(7.2)

то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (7.2):

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от (начальная угловая скорость) до , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или ,

т. е. получим уравнение

(7.3)

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного движения или, с учетом уравнения (7.3):

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от до , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение равнопеременного вращательного движения в оконча­тельном виде

(7.4)

Первую вспомогательную формулу получим, исключив из формул (7.3) и (7.4) время:

(7.5)

Исключив из тех же формул угловое ускорение , получим вторую вспомогательную формулу:

(7.6)

где – средняя угловая скорость при равнопере­менном вращательном движении.

Когда и , формулы (7.3)–(7.6) приобретают более простой вид:

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n. Установим зависимость между (с^–1) и n (мин^–1). Так как , то при n (мин^–1) за t = 1 мин = 60 с угол поворота . Следовательно:

.

При переходе от угловой скорости (с^–1) к частоте вращения n (мин^–1) имеем

7.4. Скорости и ускорения различных точек

вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величи­нами , и , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и , характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на рис. 7.5, вращается по закону, описываемому уравнением . Требуется определить скорость и ускорение точки А этого тела, расположенной на расстоянии ρ от оси вращения O. Пусть тело за некоторое время t повернулось на угол φ, а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения , переместилась на расстояние . Так как угол φ выражается в радианах, то

(7.7)

т. е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота φ – функции времени, a ρ – величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (7.7) и получим

но – скорость точки, a – угловая скорость тела, поэтому

, (7.8)

т. е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости.

Рис. 7.5. К определению скорости и ускорения точки

Изформулы (7.8) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения , т. е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Распределение скоростей при вращательном движении твердого тела

Продифференцировав обе части равенства (7.8), имеем

,

но – касательное ускорение точки, a – угловое ускорение тела, значит

(7.9)

т. е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорцио­нально его угловому ускорению.

Подставив в формулу значение скорости из формулы (7.8), получим

(7.10)

т. е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его угловой скорости.

Из формулы после подстановки вместо и их значений из формул (7.9) и (7.10) получаем

(7.11)

Направление вектора ускорения, т. е. угол , определяется по одной из формул , причем последнюю из них теперь можно представить в таком виде:

(7.12)

Из формул (7.11) и (7.12) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение а, а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение , модуль которых

и

7.5. Способы передачи вращательного движения

В технике часто возникает необходимость передачи вращательно­го движения от одной машины к другой (например, от электродвига­теля к станку) или внутри какой-либо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, называ­ются передачами.

 

Глава 8. Сложное движение

 

8.1. Сложное движение точки

 

Примером сложного движения точки может служить:

а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;

б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора метро че­ловек, который также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относи­тельно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы от­счета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы от­счета вместе со всеми связанными с ней точками материальной сре­ды по отношению к неподвижной системе отсчета для точки М называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель сам должен быть связан с неподвижной системой отсче­та. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М за некоторое время переместилась от­носительно подвижной системы координат O ₁ X ₁ Y ₁ из начального по­ложения M ₀ в положение М ₁ по траектории M ₀ М ₁ (траектории относительного движения точки) (рис. 8.1). За это же время Δ t подвижная система координат O ₁ X ₁ Y ₁ вместе со всеми неизменно связанными с ней точ­ками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат OXY в но­вое положение:

 

 

 

Рис. 8.1. К анализу сложного движения точки

 

Разделим обе части этого равенства на время движения Δ t:

 

 

и получим геометрическую сумму средних скоростей:

 

,

 

которые направлены вдоль соответствующих векторов перемещений. Если теперь перейти к пределам при , то получим уравнение

 

 

выражающее теорему сложения скоростей: при сложном движении точ­ки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометри­ческой сумме переносной и относительной скоростей.

Если задан угол , то модуль абсолютной скорости

 

 

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости с век­торами и , определяются по теореме синусов.

В частном случае при при сложении этих скоростей образуется ромб (рис. 8.2, а) или равнобедренный треугольник (рис. 8.2, б) и, следовательно,

 

 

а б

 

Рис. 8.2. Частный случай

8.2. Плоскопараллельное движение тела

 

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, назы­вается плоскопараллельным (рис. 8.3).

 

 

Рис. 8.3. Плоскопараллельное движение твердого тела

 

Изучая плоскопараллельное движение тела М, достаточно рас­сматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОY (рис. 8.4).

 

 

Рис. 8.4. К анализу плоскопараллельного движения твердого тела

Выберем в сечении q произвольную точку A, которую назовем полюсом. С полюсом А свяжем некоторую прямую KL, а в самом се­чении вдоль прямой KL проведем отрезок AB, перемещая плоское сечение из положения q в положение q ₁. Можно сначала передви­нуть его вместе с полюсом А поступательно, а затем повернуть на угол φ.

Плоскопараллельное движение тела – движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравнениями:

 

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движе­ния, можно в каждый момент времени определить скорость и ускорение полюса, а также угловую скорость и угловое ускорение тела.

Пример 8.1. Пусть движение катящегося колеса диаметром d (рис. 8.5) за­дано уравнениями

 

 

где и – м, φ – рад, t – с.

Продифференцировав эти уравнения, нахо­дим, что скорость полюса O угловая ско­рость колеса Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полю­са и угловую скорость тела, можно затем определить скорость лю­бой его точки.

 

 

Рис. 8.5. К примеру 8.1

 

8.3. Определение скорости любой точки тела

при плоскопараллельном движении

 

Пусть дано плоское сечение q, угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно и . Требуется определить скорость какой-либо точки А (рис. 8.6).

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части – поступательную и вращательную. При поступательном движении вмес­те с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка А в том числе, имеют переносную скорость , равную скорости по­люса. Одновременно с поступательным сечение q совершает враща­тельное движение с угловой скоростью (относительное движение):

,

 

где – относительная скорость точки A ().

Рис. 8.6. К определению скорости тела при плоскопараллельном движении

 

Следовательно, в каждый данный момент времени

 

,

 

т. е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном дви­жении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле

 

,

 

а направление – с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль проще определить на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твер­дого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого-либо тела (рис. 8.7). Приняв за полюс точку A, получим

 

.

 

 

Рис. 8.7. Векторы скоростей точек плоской фигуры

 

Относительная скорость перпендикулярна АВ. Следовательно, или . Теорема доказана.

 

Глава 9. Движение несвободной

материальной точки

 

9.1. Основные понятия и аксиомы динамики

 

Динамика изучает движение материальных тел под действием сил. В основе динамики лежат следующие аксиомы.

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная матери­альная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Аксиома 2 (основной закон динамики). Ускорение матери­альной точки пропорционально действующей силе F и направлено по той прямой, по которой действует эта сила (рис. 9.1).

 

 

Рис. 9.1. К основному закону динамики

 

Математически вторая аксиома записывается векторным равенством

,

 

где m – коэффициент пропорциональности, выражающий меру инертности материальной точки и называемый ее массой.

В Международной системе единиц (СИ) масса выражается в килограммах.

Зависимость между числовыми значениями (модулями) сил и уско­рения выражается равенством

 

.

 

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести G. При свободном падении на Землю телá любой массы приобретают одно и то же ускорение g, которое называется ускорени­ем свободного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего уравнения следует зависимость:

 

.

 

Таким образом, значение силы тяжести тела в ньютонах равно произведению его массы на ускорение свободного падения.

Аксиома 3 (закон независимости действия сил). Если к материальной точке приложена система сил, то каждая из сил сис­темы сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Таким образом, при одновременном действии на материальную точку массой m, например, четырех сил, ускорение а, полученное точкой, можно определить геометрически сложив ускорения и , возникающие под действием каждой силы в отдель­ности (рис. 9.2). В то же время ускорение пропорционально равнодейству­ющей тех же сил:

 

 

где и .

 

 

Рис. 9.2. К закону независимости действия сил

 

Аксиома 4. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противопо­ложные стороны.

9.2. Свободная и несвободная точки

 

Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-либо связями, называется свободной. Приме­ром свободной материальной точки может служить искусственный спутник Земли в околоземном пространстве или летящий самолет. Их перемещение в пространстве ничем не ограничено, поэтому летчик на спортивном самолете способен проделывать различные сложные фигуры высшего пилотажа.

Задачи динамики сводятся к двум основ­ным:

1) задается закон движения точки, требуется определить дейст­вующую на нее силу или систему сил (первая задача динамики);

2) задается система сил, действующая на точку, требуется оп­ределить закон движения (вторая задача динамики).

Обе задачи динамики решаются с помощью основного закона дина­мики, записанного в форме или .

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки может служить движущийся по рель­сам трамвай, если пренебречь его формой и размерами. Для несво­бодной материальной точки все внешние силы необходимо делить на две категории: активные (движущие) силы и реакции связи (пассивные силы). В связи с этим первая задача динамики несво­бодной точки сводится к определению реакций связей, если заданы законы движения точки и действующие на нее активные силы. Вторая задача динамики сводится к тому, чтобы, зная действующие на точ­ку активные силы, определить, во-первых, закон движения точки и, во-вторых, реакции связей.

Если несвободную материальную точку освободить от связей и заменить связи их реакциями, то движение точки можно рассматри­вать как свободное, а основному закону динамики придать такой вид:

 

,

 

где – активные силы;

– реакции связей;

m – масса точки;

– ускорение точки, полученное в результате действия внешних сил (активных и пассивных).

 

9.3. Силы инерции

 

Сила, численно равная произведению массы материальной точки на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противо­положную ускорению, называется силой инерции (рис. 9.3):

 

.

 

 

Рис. 9.3. Сила инерции

 

Сила инерции в действительности не приложена к получившей ускорение материальной точке, а действует на точку или тело, ко­торое сообщает ускорение этой точке.

Поясним это несколькими примерами.

Тяжелый груз, масса которого m, висит на непрочной, но способной выдержать натяжение R = G нити (рис. 9.4, а). Если теперь резко потянуть нить вертикально вверх, то она может оборваться (рис. 9.4, б). На нить начинает действовать дополнительная сила инерции , численно рав­ная , противодействующая выходу груза из состоя­ния инерции (рис. 9.4, в). Нить может оборваться и в том случае, если толкнуть в горизонтальном направлении подвешенный груз, заставив его рас­качиваться на нити (рис. 9.4, г).

При криволинейном движении материальной точки (рис. 9.5) у нее возникает ускорение , кото­рое обычно заменяют двумя составляющими ускорениями: (нормальное ускорение) и (касательное ускорение). Поэтому при криволинейном движении материальной точки возникают две состав­ляющие силы инерции : нормальная (иначе центробежная) сила инерции

 

и касательная (иначе тангенциальная) сила инерции

 

а б в г

Рис. 9.4. К анализу дейсвия сил инерции

 

Рис. 9.5. Векторы ускорений и сил инерции<