Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрез­ка в миллиметрах, изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна l = 0, 05 м, а отрезок, изображающий это звено, AB = 50 мм, то масштабный коэффи­циент длин μ ₁ = 0, 05/50 = 0, 001 м/мм, что соответствует чер­тежному масштабу 1: 1; если же АВ = 25 мм, то μ ₁= 0, 05/25 = 0, 002 м/мм (1: 2).

Масштабный коэффициент скоростей μ _υ , . Если скорость некоторой точки А υ _A = 10 м/с, а отрезок, изображающий υ _A,
pa =50 мм, то μ _υ =10/50 = 0, 2 . Масштабный коэффициент ускорений μ _a, .

 

14.2. Построение положений рычажных механизмов

методом засечек

 

Кинематический анализ механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмот­рим кривошипно-ползунный механизм (рис.14.1).

 

Рис. 14.1. Кривошипно-ползунный механизм

 

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра О делаем засечки радиусами АВ + ОА и АB – ОА на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой А, на равные части (например, на шесть) и отмечаем после­довательные положения точки А – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем ме­тодом засечек на линии движения ползуна получаем последователь­ные положения точки В – 0, 1, 2, 3 (движение справа налево) 4, 5, 6 (движение слева направо). S – ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки К шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

 

14.3. Определение скоростей и ускорений

рычажных механизмов методом планов

 

Пример 14.1. Дано: кривошипно-ползунный механизм (рис. 14.2), = 60 рад/с или = 50 об/мин, = 100 мм,
= 300 мм, =5 рад/с².

Формула строения: механизм второго класса.

 

а б в

 

Рис. 14.2. К примеру 14.1

 

Построение плана скоростей. Скорость точки А начального звена

 

где –частота вращения кривошипа 1, мин^–1.

 

в сторону . Выбираем масштабный коэффициент скорос­тей и определяем отрезок , мм, изображающий . Точка p – полюс плана скоростей.

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения скорости точки B составляем векторное уравнение согласно теореме о плоскопараллельном движении:

 

(14.1)

 

где – скорость точки В во вращательном движении звена 2 относительно точки А, ,

Уравнение (14.1) решаем графически. Для этого из полюса p откладываем отрезок pa в направлении вектора , из точки a проводим прямую в направлении вектора , т. е. перпендикулярно AB, затем из полюса p проводим прямую в направлении суммарного вектора , т. е. параллельно х – х. Пересечение указанных направлений дает точку b. В результате находим

 

 

Для определения направления угловой скорости шатуна 2 переносим вектор относительной скорости (отрезок ab)в точку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Скорость точки K шатуна находим на основании векторных уравнений

и

 

где и –относительные скорости, причем , .В результате получим

 

 

Отметим основные свойства планов скоростей.

1. Векторы абсолютных скоростей начинаются в полюсе плана.

2. Векторы относительных скоростей соединяют концы векто­ров абсолютных скоростей, причем вектор на плане направлен к той точке, которая стоит первой в индексе, например, – от а к b.

3. Теорема подобия. Отрезки относительных скоростей точек, принадлежащих одному звену, образуют фигуру, подобную соответст­вующей фигуре звена и сходственно с нею расположенную. Сходст­венное расположение означает, что направления обхода одноименных контуров совпадают (например, а-b-k и А-В-K – по часо­вой стрелке). В рассмотренном примере ~ .

Построение плана ускорений. Ускорение точки А начального звена

 

где –нормальное ускорение;

– касательное (тангенциальное) ускорение.

 

 

причем вектор направлен вдоль ОА от А к O, a в сторону .

Выбираем масштабный коэффициент ускорений , и определяем отрезок , мм, изображающий , и отре­зок мм, изображающий . Точка π – полюс плана ускорений. Откладываем отрезки и в соответствии с их направлениями. Тогда

 

 

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения ускорения точки В составляем векторное уравнение согласно тео­реме о плоскопараллельном движении:

(14.2)

 

где –нормальная и касательная составляющие ускорения точки В во вращательном движении звена 2 относительно точки А, причем вектор направлен вдоль АВ от В к А, а . Нормальная составляющая находится также по величине

 

 

Отрезок, изображающий равен

 

 

Уравнение (14.2) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок в направлении вектора из точки проводим прямую в направлении вектора , а из полюса π про­водим прямую в направлении суммарного вектора , т. е. парал­лельно х – х. Пересечение указанных направлений дает точку b. В результате находим

 

 

Для определения направления углового ускорения шатуна 2 переносим вектор касательного ускорения (отрезок ) в точку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Ускорение точки K находим на основании теоремы подобия, которая справедлива и для плана ускорений. Для этого методом засечек строим , подобный и сходственно с ним распо­ложенный. Стороны и находим из пропорций

 

откуда

 

В результате получим

 

Основные свойства планов ускорений такие же, как и планов скоростей.

 

Глава 15. Методические указания

к решению задач

 

15.1. Кинематика зубчатых механизмов

с неподвижными осями вращения

 

Основным кинематическим параметром зубчатого механизма яв­ляется передаточное отношение.

Передаточным отношением называется отношение угловой скорости звена 1 () к угловой скорости звена 2 () (рис. 15.1).

Очевидно, что

Если и , то

 

где и – частота вращения, мин^–1, звена 1 и звена 2.

Для механизмов с параллельными осями передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых ско­ростей и отрицательным – при противоположном.

Для цилиндрической передачи знак «плюс» соответствует внут­реннему зацеплению (рис. 15.1, б), а «минус» – внешнему (рис. 15.1, а).

 

 

Рис. 15.1. К вопросу о передаточном отношении

 

Передаточное отношение можно представить в виде

 

 

Многоступенчатый зубчатый механизм можно образовать последовательным соединением колес (рис. 15.2), при котором вращение от ведущего вала О ₁ передается ведомому валу О ₄ через промежуточные валы О ₂ и O ₃, на каждом из которых помещено по два колеса: 2 и 2´, 3 и 3´. Колёса 2 и 2´ жестко соединены с валом O ₂ и имеют общую угловую скорость ; аналогично колёса 3 и 3´ также жестко соединены с валом О ₃ и имеют общую угловую скорость .

На одной проекции (см. рис. 15.2) направление угловых ско­ростей показано круговыми стрелками, а на второй – прямыми.

При последовательном ступен­чатом соединении колес пере­даточное отношение равно про­изведению передаточных отно­шений промежуточных зацепле­ний (см. рис. 15.2):

 

 

В данном случае имеем трехступенчатую передачу.

 

Рис. 15.2. Многоступенчатый зубчатый механизм

 

В общем случае передаточное отношение

 

(15.1)

 

где k – число внешних зацеплений.

При простом последовательном соединении зубчатых колес (рис. 15.3) величина общего передаточного отношения не зависит от количества промежуточных (паразитных) колес:

 

В общем случае

(15.2)

 

где K – число внешних зацеплений.

«Паразитные» колеса могут изменять знак передаточного отношения; например, при внешнем зацеплении (см. рис. 15.3) каж­дое четное колесо 2 и 4 вращается в сторону, противоположную вращению входного колеса 1, а каждое нечетное колесо 3 – в сторону вращения входного коле­са 1.

 

 

Рис. 15.3. Последовательное соединение зубчатых колес

 

На рис. 15.4 показано последовательное соединение, состоящее из трех колес: 1, «паразитное» 2 и выходное 3 с внут­ренним зацеплением. Передаточное отно­шение

 

Рис. 15.4. Последовательное соединение трех колес

 

Передаточное отношение червячной пере­дачи равно отношению числа зубьев коле­са к числу витков червяка:

 

 

где – число зубьев червячного колеса;

–число витков червяка;

и – частота вращения червяка и колеса, мин^–1.

Механизм, изображенный на рис. 15.5, состоит из пары цилиндри­ческих колес 1 и 2, пары кони­ческих колес 2´, 3 и червячной пары 3´ и 4, где звено 3´ – червяк, а 4 – червячное колесо. Общее пе­редаточное отношение для этого механизма

 

 

где – число зубьев червячного колеса;

– число витков червяка.

Знак для общего передаточного отношения можно поставить лишь для того случая, когда входной и выходной валы вращаются относи­тельно осей, параллельных друг другу.

 

 

Рис. 15.5. Многоступенчатый механизм

 

15.2. Кинематика зубчатых механизмов

с подвижными осями вращения

 

Зубчатая передача, у которой геометрическая ось хотя бы од­ного из колес подвижна, называется планетарной. Различные плане­тарные механизмы можно представить в виде трех типов передач.

1. Дифференциальные передачи, обладающие двумя степенями подвижности, у которых все основные звенья подвижны (рис. 15.6). Эти передачи позволяют суммировать два или несколько потоков мощнос­ти, поступающих от независимых источников, либо распределять их по независимым потребителям.

 

 

Рис. 15.6. Дифференциальная передача

2. Простые планетарные передачи, обладающие одной степенью подвижности, у которых одно из основных звеньев закреплено непо­движно (рис. 15.7, закреплено звено 3). Такие механизмы служат для последовательной передачи потока мощности.

 

 

Рис. 15.7. Планетарная передача

 

3. Замкнутые дифференциальные передачи, получаемые из дифференциальных передач путем замыкания двух основных звеньев (центрального колеса и водила) простой передачей, состоящей из колес 1, 2, 3 (рис. 15.8). Такие передачи позволяют получить большие пе­редаточные отношения при малых габаритах.

 

 

Рис. 15.8. Замкнутая дифференциальная передача

Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 15.6. Определим число степеней подвижности, если n = 4 – число звеньев, p ₅ = 4 и p ₄ = 2 – число кинематических пар V и IV класса.

Определенность в движении звеньев уэтого механизма будет в том случае, если будут заданы законы движения двум звеньям.

Основными звеньями механизмов с подвижными осями являются водило (Н) и соосные с ним колёса (1 и 3). В данном случае все основные звенья подвижные. Оба эти признака (W > 1 и подвижные основные звенья) определяют дифференциальный механизм.

Определим степень подвижности для механизма, изображенного на рис. 15.7:

 

 

У этого механизма колесо 3 (основное звено) неподвижно и W = 1. Оба признака определяют планетарный механизм. В механизмах замкнутых дифференциалов все основные звенья подвижные но число степеней подвижности равно единице (W = 1). Таким об­разом, только по совокупности двух признаков механизмы с подвиж­ными осями можно отнести к тому или иному типу.

Формулы (15.1), (15.2) для определения передаточного отношения планетарных и дифференциальных механизмов использовать нельзя, так как сателлит участвует в сложном движении, состоящем из вра­щения вокруг оси O ₂ и вращения вместе с водилом Н вокруг оси О _н (см. рис. 15.6, 15.7).

Для вывода зависимостей, связывающих угловые скорости меха­низмов, имеющих подвижные оси, воспользуемся методом обращения движения.

Допустим, что в действительном движении звенья механизма (см. рис.15.6) имеют угловые скорости . Сооб­щим всем звеньям скорость, равную угловой скорости водила, но противоположно ей направленную, т. е. . В этом случае угловые скорости звеньев соответственно будут

 

\

Так как водило Н стало неподвижным (), то мы получили «обращенный механизм» с неподвижными осями. Для этого меха­низма справедлива зависимость

 

 

где –передаточное отношение «обращенного механизма», кото­рое можно определить через число зубьев колес:

 

 

В правую часть предыдущей зависимости подставим значение относительных скоростей:

 

(15.3)

 

Полученное уравнение называется формулой Виллиса для дифференциальных механизмов. Левая часть, как показано выше, может быть выражена через число зубьев колес. Определенность в решении правой части будет иметь место, когда будут известны скорости двух ведущих звеньев. Установим, какой вид примет формула Вилли­са для планетарного механизма, изображенного на рис. 15.7. У этого механизма колесо 3 жестко соединено со стойкой (заторможено), т. е. .

Таким образом, имеем

 

 

Откуда

(15.4)

Полученную зависимость называют формулой Виллиса для плане­тарных механизмов, а передаточное отношение – планетарным передаточным отношением.

Как и для дифференциальных механизмов, определяется че­рез число зубьев колес. В общем случае

 

,

 

где – передаточное отношение от звена k к звену l (l соответствует неподвижному центральному колесу).

Достоинством планетарных механизмов является возможность получения больших передаточных отношений при малых габаритах.

Пример 15.1. Определить передаточное отношение планетар­ного механизма (рис. 15.9), если z ₁ = 100, z ₂ = 99, z _2´ = 100, z _3´ = 101.

 

 

Рис. 15.9. К примеру 15.1

 

Это одноступенчатый планетарный редуктор. Используя формулу (15.4), запишем

 

Пример 15.2. В зубчатой передаче, показанной на рис. 15.10, входное коническое колесо 1 в данный момент имеет угловую ско­рость = 340 с^–1 и постоянное угловое ускорение = 285 с^–2, направленное по движению.

 

z ₁ = z ₂ = 18; z _2´ = z _4´ = 18; z ₃ = z ₅ = 30; z _3´ = z _5´ = 22; z ₄ = z ₆ = 70.

 

 

Рис. 15.10. К примеру 15.2

 

Принять средний модуль конического колеса m_m = 2 мм, шири­ну колеса b = 20 мм, плотность ρ = 8000 кг/м, смещение центра масс (точки А, рис. 15.11) l = 2 мм.

 

 

Рис. 15.11. Смещение центра масс

Определить:

1) передаточное отношение между входным и выходным звеньями и направление вращения;

2) угловую скорость и угловое ускорение выходного звена, их направление показать на схеме передачи;

3) время, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза;

4) величину и направление силы инерции и момента пары сил инерции звена 1 в начале и конце найденного в предшествующем пункте промежутка времени, сравнить силу инерции с силой тяжести и показать на чертеже направления вращения, ускорения и инерцион­ных нагрузок;

5) общий коэффициент полезного действия передачи.