При прямолинейном перемещении

Если при действии постоянной силы на точку М (рис. 10.1) ее перемеще­ние , то скалярная мера действия силы называется работой:

, (10.1)

 

где – угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

В системе СИ работа выражается в джоулях: 1 Дж = 1 H∙ м, килоджоулях: 1 кДж = 10³ Дж, или в мегаджоулях: 1 МДж = 10⁶ Дж. Из формулы (10.1) видно, что работа – величина алгебраическая.

 

Рис. 10.1. Работа силы

 

1. При изменении угла в пределах значение . Поэтому если угол – острый, то работа силы положительная. В частном случае, когда направление действия силы совпадает с направлением перемещений ( = 0), и .

2. При изменении угла в пределах 90°< < 180° значение . Следовательно, если угол – тупой, то работа силы отрицательная. В частном случае при = 180° и .

3. Заметим, что при = 90° значение и , т. е. работа силы, направленной перпендикулярно переме­щению точки, равна нулю.

Рассмотренные выше три частных случая значений работы силы при = 0°, = 180°, = 90° аналогичны значениям работы си­лы тяжести. Работа силы тяжести не зависит от траектории движе­ния точки и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Если точка М (рис. 10.2) перемещает­ся из положения M ₁ в положение М ₂, то при любой траектории точ­ки работа силы тяжести:

 

 

где – начальная высота точки над заданным уровнем на Земле;

– конечная высота над тем же уровнем.

а б в

 

Рис. 10.2. Работа силы тяжести:

а:

б:

в:

 

10.2. Работа равнодействующей силы

 

Если на точку действует одновременно несколько сил, то алгеб­раическая сумма их работ равна работе равнодействующей силы.

Допустим, что перемещение точки произошло при действии на нее трех сил: и (рис. 10.3). Тогда, обозначив работу каждой из сил соответственно W ₁, W ₂ и W ₃, можем записать:

 

 

Сложив правые и левые части этих равенств, получим

 

 

Известно, что сумма проекций сил на некоторую ось равна проек­ции равнодействующей этих сил на ту же ось:

 

Таким образом,

 

 

Рис. 10.3. Работа равнодействующей силы

 

Так как и есть работа равнодействующей силы

 

,

то

 

или в общем случае для любого числа сил:

 

.

 

При равномерном прямолинейном движении точки приложенная к ней система сил уравновешена (первая аксиома динамики), т. е. , и тогда

 

(алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил, прило­женных к точке, равна нулю).

10.3. Работа переменной силы на криволинейном пути

 

Чтобы определить работу непостоянной силы F при перемещении точки М по криволинейной траектории , надо дугу траек­тории разделить на множество частей , настолько малых, что каждую из них можно считать отрезком прямой (рис. 10.4, а). Тогда работа силы F на перемещении , так называемая элементарная работа:

 

 

а б

 

Рис. 10.4. Работа переменной силы при перемещении

по криволинейной траектории

 

Просуммировав все элементарные работы переменной силы , по­лучим ее работу на участке траектории от M ₀ до M ₁:

 

(10.2)

 

Разложив силу на составляющие и , направленные соответственно по нормали и касательной, увидим, что работа нормальной составляющей равняется нулю и, следовательно, в формуле (10.2) произведение выражает модуль касательной со­ставляющей силы , т. е. , и этой формуле можно при­дать вид

 

Интегралы могут быть определены лишь в том случае, если из­вестен закон движения точки.

 

10.4. Мощность

 

Скалярная величина

 

характеризующая быстроту совершения работы, называется средней мощностью силы. В СИ мощность выражается в ваттах:

 

 

 

Если в течение некоторого времени t мощность машины остается постоянной или меняется несущественно, то произведенная работа выражается формулой

 

,

 

отсюда и появляется единица времени 1 кВт · ч = 10³ Вт · 3600 c =
= 3, 6 · 10⁶.

 

10.5. Механический коэффициент полезного действия

 

В технике работа сил обычно связана с преодолением различных сопротивлений, для выполнения этой работы создается множество разнообразных машин и механизмов.

Силы сопротивления _, которые преодолевает любая машина (механизм):

– полезное сопротивление F _пс, для преодоления которого машины или механизмы и предназначены;

– вредное сопротивление F _вс, которое приходится вынужденно преодолевать попутно с полезным.

Тогда вся работа, которую совершает машина или механизм:

 

 

где – работа по преодолении полезного сопротивления, отсюда

 

 

Отношение полезной работы ко всей совершенной работе называется механическим коэффициентом полезного действия:

 

 

В технике распространены случаи работы машин при их последовательном соединении друг с другом.

Допустим, имеется совокупность трех механизмов с КПД (рис. 10.5). Если работа, совершенная механизмами, и их полезная работа , то КПД всех точек механизмов

 

 

 

Рис. 10.5. Последовательное соединение машин

Вывод: чем длиннее «цепочка» совместно работающих механизмов, тем меньше её общий КПД, причем общий КПД всегда меньше самого низкого из числа перемножаемых КПД.

 

10.6. Работа сил на наклонной плоскости

 

Пусть требуется поднять на высоту h груз, сила тяжести которого G (рис. 10.6).

 

 

Рис. 10.6. Работа силы при поднятии груза

 

Предположим, что подъем осуществляется тремя способами:

– вертикально;

– по наклонной плоскости с углом подъема α;

– по менее крутой плоскости с углом подъема β (β < α).

Если считать, что груз перемещается равномерно, то работа при подъеме груза во всех трех случаях совершается одинаковая:

 

 

Но в первом случае приходится преодолевать силу тяжести G, во втором – , в третьем – .

Так как β < α, то , значит,

Наклонная плоскость как одно из средств получения выигрыша в силе при перемещении тяжести широко используется в технике.

 

Если сила F направлена параллельно наклонной плоскости (рис. 10.7), то при перемещении вверх по наклонной плоскости тела на него кроме силы F действуют еще три силы:

– сила тяжести G, нормальная реакция наклонной плоскости R_n, значение которой

 

– сила трения R_f, значение которой

 

 

 

Рис. 10.7. Работа силы на наклонной плоскости

 

При равномерном подъеме тела М четыре силы образуют уравновешенную систему. Алгебраическая сумма работ этих сил равна нулю:

 

 

где – работа силы тяжести;

– работа силы трения;

– работа нормальной реакции.

 

 

Если же требуется определить значение силы F, то с учетом того, что , получаем

 

Полезную часть работы сил F составляет работа по подъему тела на высоту и тогда

 

 

Таким образом, КПД наклонной плоскости при подъеме груза силой направленной параллельно наклонной плоскости:

 

 

 

Вывод: КПД наклонной плоскости зависит только от угла ее наклона и коэффициента трения при перемещении груза по плоскости.

 

10.7. Работа и мощность при вращательном движении тел

 

Допустим, что к рукоятке C колеса, насаженного на ось OZ, приложена сила , постоянно направленная перпендикулярно (рис. 10.8). При вращении колеса точка приложения силы перемещается по окружности и элементарная работа этой силы

 

.

 

Рис. 10.8. Вектор силы при вращательном движении тела

Но так как , то , где произведение называется вращающим моментом. Следовательно, при вращении тела элементарная работа

 

 

При повороте колеса на угол работа

 

 

Если при этом вращающий момент , то

 

 

(работа при вращении тела равна произведению вращающего момента на угол поворота).

Разделив обе части этого равенства на (время действия вращающего момента), получим его мощность:

 

или, так как

(10.3)

 

(мощность при вращении тела равна произведению вращающего мо­мента на угловую скорость).

Из формулы (10.3) вытекает важное следствие:

 

(при постоянной мощности вращающий момент обратно пропорционален угловой скорости).

 

10.8. Трение качения. Работа при качении тел

 

Трением качения называется сопротивление, возникающее при перекатывании одного тела по поверхности другого. Тело 1 и каток 2 (рис. 10.9) абсо­лютно недеформируемые. Малая сила F вместе с силой трения , приложенной к катку в точке K, образуют пару (F, ), под дей­ствием которой каток начинает катиться (рис. 10.9, а).

а	б	в

 

Рис. 10.9. Работа сил при качении тела

 

На самом деле абсолютно недеформируемых тел нет (рис. 10.9, б). При перека­тывании катка силой деформация смещается вперед по направле­нию качения и место приложения полной реакции опорной поверх­ности также смещается несколько вперед на длину относитель­но теоретической точки касания K и отклоняется от нормали на небольшой угол (рис. 10.9, в).

При качении катка на него действуют четыре силы, образующие две пары сил: движущую пару (, ) с моментом и пару сопротивления качению (, ) с моментом . Момент пары сопротивления иначе называют моментом трения качения, а величину – коэффициентом трения качения. Значение зависит от материала тел и выражается обычно в сантиметрах. Например, для трения мягкой стали по стали = 0, 005 см, а для трения закаленной стали по стали (подшипники качения) = 0, 001 см. Качение катка 2 начи­нается при условии

 

 

Для перекатывания катка сила

 

 

Глава 11. Общие теоремы динамики

 

11.1. Импульс силы. Количество движения.

Кинетическая энергия

 

Любое взаимодействие тел, приводящее к какому-либо изменению движения, длится некоторое время. Векторная мера действия силы , равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия, называется элементарным импульсом силы. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора силы. Единица импульса в СИ – Н ∙ с:

 

 

Векторная мера механического движения точки , равная произведению массы точки на ее скорость в данный момент времени, называется количеством движения. Направление вектора количества движения совпадает с направлением вектора скорости. Единица количества движения в СИ – . Как видим, единицы импульса силы и количества движения одинаковы.

Скалярная мера механического движения точки , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией. Единица кинетической энергии – джоуль (Дж):

 

11.2. Теорема об изменении количества движения точки

 

Пусть на точку массой m действует система постоянных сил, равнодействующая которых согласно основному закону динамики

 

 

(изменение количества движения точки равно импульсу всех сил).

Спроецировав на оси координат обе части векторного равенства (11.1), в общем случае получим:

а) систему трех скалярных уравне­ний:

 

 

где

б) если силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости, то получим два скалярных уравнения;

в) если силы действуют вдоль одной прямой, то, спроецировав уравнение (11.1) на эту прямую, получим одно скалярное уравнение:

 

.

11.3. Теорема об изменении кинетической энергии точки

 

Пусть на точку действует система постоянных сил, равнодейст­вующая которых . Допустим, что силы действуют вдоль одной прямой. Тогда

;

 

.

 

На прямолинейном пути

 

 

 

Отсюда с учетом того, что ,

 

,

 

т. е. изменение кинетической энергии точки равно сумме работ действующих сил.

 

11.4. Понятие о механической системе

 

Совокупность материальных точек, связанных между собой сила­ми взаимодействия, называется механической системой (рис. 11.1). Например, механическую систему образуют Земля и Луна или спортивный само­лет и буксируемый им планер.

Любое материальное тело рассматривается в механике как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек. Абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояние между материальными точками остается неизменным. Изменяемые системы – любые машины или механизмы.

 

 

Рис. 11.1. К понятию о механической системе

 

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входя­щих в эту систему, называются внешними (F_e, R_e), а силы, дей­ствующие на точки системы со стороны точек или тел этой же сис­темы, называются внутренними (F_i).

Главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем это условие соблюдается, только если рассматриваемая механическая система неизменя­емая.

Движение механической системы зависит:

1) от действующих сил;

2) суммарной массы системы

 

,

 

где m – масса механической системы;

– массы ее отдельных точек;

3) положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется (только при поступательном движении) уравнением

,

где – результирующая всех внешних сил, приложенных к точкам системы;

m – масса системы;

– ускорение центра масс системы.

Как видим, это уравнение аналогично основному уравнению динамики точки. Смысл его состоит в том, что центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы.

 

11.5. Основное уравнение динамики вращающегося тела

 

Пусть твердое тело (рис. 11.2) под действием внешних сил (эти силы на рис. 11.2 не показаны) вращается около оси OZ с угловым ускорением .

 

Δ F ин kt

Δ F ин kn

akt

ρ k

akn

 

Рис. 11.2. К определению работы сил, действующих на вращающееся тело

 

Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ

 

 

называется вращающим моментом.

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек массами . Каждая из этих точек движется по окружности радиуса , с ускорением , которое разложим на касательное и нормальное ускоре­ние.

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инер­ции: касательную и нормальную . Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебра­ическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю, т. е.

 

 

(моменты сил относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось).

У любой точки вращающегося тела числовое значение касательно­го ускорения , поэтому значение , где – угловое ускорение тела. Тогда

 

 

Величина , равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси.

Основное уравнение динамики вращающегося тела:

 

 

В СИ момент инерции тела выражается в кг · м².

11.6. Кинетическая энергия тела. Кинетический момент

 

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер­гий его отдельных точек.

1. При поступательном движении тела (рис. 11.3) скорости всех его точек равны между собой и равны – скорости центра масс тела. Поэтому легко понять, что кинетическая энергия тела при поступательном движении

где m – масса тела;

– значение скорости центра масс.

 

 

Рис. 11.3. К определению кинетической энергии

при поступательном движении тела

 

2. При вращательном движении тела с некоторой угловой скоростью (рис. 11.4) все его точки движутся по окружностям различных радиу­сов и имеют скорости . Определив кинетическую энер­гию каждой точки и сложив ее по всему объему тела, получим

 

Рис. 11.4. К определению кинетической энергии

при вращательном движении тела

 

А так как – момент инерции тела относительно оси Z, для кинетической энергии находим такое выражение:

 

 

Кинетическая энергия тела при сложном его движении (в частности, при плоскопараллельном) складывается из кинетической энер­гии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс, т. е.

 

Кроме кинетической энергии мерой вращательного движения тела является величина , называемая кинетическим моментом вращающегося тела. Кинетический момент в СИ выражается в .

РАЗДЕЛ 2

ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ

И ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ

 

Глава 12. Структура механизмов

 

12.1. Основные понятия

 

Механизмом называется система тел, предназначен­ная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел.

Машиной называется устройство, выполняющее механи­ческие движения для преобразования энергии, материалов и инфор­мации с целью замены или облегчения физического и умственного труда человека. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины. Энергетические машины предназначены для преобразования энергии. К ним относятся, например, электродви­гатели, двигатели внутреннего сгорания, турбины, электрогенера­торы. Технологические машины предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, которое состоит в из­менении его размеров, форм, свойств или состояния. Транспортные машины предназначены для перемещения людей и грузов. Информационные машины предназначены для получения и преобразования информации.

В состав машины обычно входят различные механизмы.

Всякий механизм состоит из отдельных твердых тел, называемых деталями. Деталь является такой частью машины, которую изготовляют без сборочных операций. Детали могут быть простыми (гайка, шпонка и т. п.) и сложными (коленчатый вал, корпус редуктора, станина станка и т. п.). Детали частично или пол­ностью объединяют в узлы. Узел представляет собой закончен­ную сборочную единицу, состоящую из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта, редуктор и т. п.). Сложные узлы могут включать в себя несколько узлов (подузлов), например, в состав редуктора входят подшипники, валы с насаженными на них зубчатыми колесами и т. п. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называются звеном.

В каждом механизме имеется стойка, т. е. звено неподвижное или принимаемое за неподвижное. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным назы­вается звено, которому сообщается движение, преобразуемое меха­низмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном называется звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Кинематической парой называется соеди­нение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.

 

12.2. Классификация кинематических пар.

Кинематические цепи

 

По числу связей, наложенных кинематической парой на отно­сительное движение ее звеньев, все кинематические пары делятся на пять классов. Свободное тело (звено) в пространстве обладает шестью степенями свободы.

 

Основные кинематические пары

 

№	Название кинематической пары	Изображение пары	Условное обозначение	Число степеней свободы	Число связей (номер класса)
	Поступательная
	Вращательная

 

	Цилиндрическая
	Сферическая
	Плоскостная
	Цилиндр-плоскость
	Шар-плоскость

 

Поверхности, линии и точки, по которым соприкасаются звенья, называются элементами кинематической пары. Различают низшие (1–5) пары, элементами которых являются поверхности, и высшие (6, 7) пары, элементами которых могут быть только линии или точки.