Расчеты на жесткость при изгибе

Для расчета на прочность, так жекак и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящий момент максимален. График, показывающий закон изменения крутящих мо­ментов по длине бруса, называется эпюрой крутящих моментов (см. рис. 19.12).

Правило знаков: будем считать крутя­щий момент положительным, если для наблюда­теля, смотрящего на проведенное сечение, он представляется направленным по часовой стрелке (рис. 19.13). Соответствующий внеш­ний момент направлен против часовой стрелки.

Рис. 19.13. Правило знаков для M_z

19.7. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспе­ченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых:

Конечно, незначительное (до 5–6 %) превышение расчетного напряжения над допускаемым не опасно.

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 19.14.

Рис. 19.14. Эпюры касательных напряжений поперечных сечений вала

В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинако­вы.

Наибольшего значения касатель­ные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения:

где – полярный момент инерции.

Введя обозначение , получим следующее выражение для максимального касательного напряжения:

Величину , мм³, равную отношению полярного момента инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом со­противления сечения. Его размерность – L ³. Очевидно, полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении:

(19.4)

Эта формула служит для проверочного расчета на прочность.

При проектном расчете и при определении допускаемой на­грузки (момента) из формулы (19.4) соответственно находят или .

Для кольца

и для круга

Для конструкционной углеродистой стали обычно = 20–35 МПа.

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении.

Рассмотрим брус, жестко защем­ленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим мо­ментом М (рис. 19.15). При деформации бруса его поперечные сечения повер­нутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или, что то же самое, по отношению к непо­движному сечению (заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного сечения I, отстоящего от заделки на расстоянии z, он равен , для сечения II – .Здесь – угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной .

Вообще, угол поворота вала при включении произвольного сечения равен углу за­кручивания части бруса, заключенной между этим сечением и за­делкой. Таким образом, угол поворота φ торцового сечения пред­ставляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса.

За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) вала, обозначаемый φ ₀ (встречается обозначение θ):

Рис. 19.15. Деформации вала при кручении

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинако­вом во всех поперечных сечениях крутящем моменте равен

где l – длина рассматриваемого участка, мм.

В отличие от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от материала вала, допускаемый угол закручивания зави­сит от назначения вала.

Значения допускаемых углов закручивания, встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма разнообразны; наибо­лее распространены значения [θ ] = (4, 38–17, 5) · 10³ рад/м = 0, 25–1, 0 град/м.

Условие жесткости при кручении имеет вид

где – условная жесткость сечения круглого бруса при кручении. Модуль сдвига G характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса. Для стали G = 8 · 10⁴ МПа.

При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение I_p:

а затем вычисляют диаметр ва­ла. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнитель­ного размера) должен быть, конечно, принят больший.

Для круга

19.8. Условие прочности вала при совместном действии

крутящего и изгибающего моментов

При ориентировочном расчете валов влияние изгиба не учиты­валось, но допускаемые напряжения на кручение принимались весьма невысокими, что должно было в известной мере компенсировать ошибку, являющуюся следствием пренебрежения изгибом.

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учиты­вая совместное действие изгиба и кручения.

При расчете валов, а также дру­гих элементов конструкций, испытыва­ющих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные на­пряжения в опасных точках бруса, не­велики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормаль­ными напряжениями от изгиба.

На рис. 19.16, а показан вал, на который насажены зубчатое колесо ди­аметром и шкив ременной передачи диаметром . На зубчатое колесо действуют окружная и радиальная силы, на шкив – силы и натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рис. 19.16, б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы к оси вала добавляется скручивающая пара с моментом (рис. 19.17, а); аналогично при приведении сил и получается скру­чивающая пара с моментом (рис. 19.17, б).

Рис. 19.16. Изгиб с кручением вала

Рис. 19.17. Перенос сил к оси вала

При равномерном вращении вала (толь­ко такой случай и рассматривается) , что следует из основного уравнения динамики для вращательного движения.

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры , по которым опре­деляют опасное сечение вала.

Для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие крутя­щий и изгибающий моменты. В рассматриваемом случае опасным будет сечение C под серединой шкива.

Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой кон­струкционной или реже – легированной стали. Их расчет выполняют на основе третьей или пятой гипотез прочности.

Составим расчетную зависимость по третьей гипотезе проч­ности.

По формуле

подставляя в нее значения и , получаем

Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) се­чения , имеем

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, по­этому величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным (или приведенным) моментом, при этом условие прочности имеет вид

Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кру­чением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчетную формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающих и крутящего мо­ментов, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе на­ибольших касательных напряжений,

При проектном расчете определяют требуемое значение момен­та сопротивления поперечного сечения:

Учитывая, что для сплошного круглого сечения , получаем следующую формулу для определения требуемого диаметра вала:

Понятие «эквивалентный момент» не имеет смысла при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения. Неприменимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого се­чения испытывает растяжение или сжатие.

Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение также называют опасным. Для отыскания опасного сечения иногда помимо эпюр строят эпюру , а затем эпюру . Практически в этом нет необходимости; в случае, если по эпюрам положение опасного сече­ния определить нельзя, проще вычислить для нескольких се­чений, чем строить эпюры и .

Глава 20. Устойчивость сжатых

элементов Конструкций

20.1. Понятие о критической силе для сжатого стержня.

Формула Эйлера

Из физики известно, что равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого известны также неустойчивое и безразличное равнове­сия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое те­ло или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рас­смотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 20.1, а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тя­жести G ₁, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равно­весия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1, б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузке G ₃ (рис. 20.1, в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в но­вую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

Рис. 20.1. Потеря устойчивости

Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

Максимальная сжимающая нагрузка , при которой прямоли­нейная форма стержня устойчива, называется критической силой.

Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки со­хранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом не­которым запасом устойчивости (рис. 20.2):

 

 

Рис. 20.2. К определению запаса устойчивости

 

Условие устойчивости сжатого стержня

 

 

где – коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемая сжимающая сила

Задачу определения критической силы впервые чисто матема­тически решил Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

 

(20.1)

где – минимальное значение момента инерции площадки попе­речного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости;

–длина стержня;

– коэффициент приведения длины, т. е. число, показывающее, во сколько раз следует увеличить дли­ну шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна крити­ческой силе стержня в данных условиях закрепления.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и раз­меры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа за­крепления его концов.

е

д

г

в

б

а

Рис. 20.3. Значения коэффициента приведения длины стержня

при различных способах закрепления его концов

На рис. 20.3 изображены несколько случаев закрепления стержня и указаны соответствующие значе­ния коэффициента приведения μ:

– оба конца шарнирно закреплены (рис. 20.3, а);

– один конец жестко закреплен, другой – свободен (рис. 20.3, б);

– один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку (рис. 20.3, в);

– один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» заделку (рис. 20.3, г);

– оба конца заделаны жестко (рис. 20.3, д);

– один конец заделан жестко, другой за­креплен шарнирно (рис. 20.3, е).

 

 

20.2. Критическое напряжение.

Пределы применимости формулы Эйлера

 

При осевом нагружении стержня в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, которые возрастают по мере увеличения нагрузки. Нормальные на­пряжения, соответствующие критической си­ле, называются критическими:

 

После подстановки значения критической силы из формулы (20.1) получим

(20.2)

 

Линейную величину называют минимальным радиусом инерции сечения.

Таким образом, и формула (20.2) принимает вид

 

или

Безразмерная величина называется гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня потере устойчивости. Заметим, что гибкость λ стержня не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения.

Определяя значение критической силы, Эйлер исходил из рас­смотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому формула

 

 

справедлива только в пределах применимости закона Гука, иначе говоря, до тех пор, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня, т. е. при условии

 

Отсюда

 

Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью:

 

Применимость формулы Эйлера определяется условием

Формула Эйлера применима только в тех случаях, когда гиб­кость стержня больше или равна предельной гибкости того мате­риала, из которого он изготовлен. Как правило, многие конструкции имеют стержни с гибкостью меньше предельной.

РАЗДЕЛ 4

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ И ДЕТАЛЕЙ ОТРАСЛИ

 

Глава 21. ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

 

21.1. Геометрический расчет

эвольвентных прямозубых передач

 

Рассмотрим сечение цилиндрического зубчатого колеса (рис. 21.1) с внеш­ними зубьями плоскостью, перпендикулярной к оси колеса (главное, или торцовое сечение). Выделяют окружность вершин зубьев () и окружность впадин (), между которыми заключен зуб колеса. Высота зуба .

 

 

Рис. 21.1. Сечение цилиндрического зубчатого колеса

 

Эвольвентный профиль и окружность впадин соединяются переходной кривой. Общая точка L эвольвенты и переходной кривой называется граничной точкой профиля.

Расстояние между одноименными профилями двух соседних зубь­ев, измеренное по дуге окружности, называется окружным шагом зубьев. Для окружности произвольного радиуса

 

где p_y – окружной шаг;

S_y – окружная толщина зуба;

e_y – окружная ширина впадины.

Длину окружности можно выразить через шаг p_y и число зубь­ев z:

 

откуда

где –окружной модуль.

Модуль и шаг зависят от окружности, к которой они относятся.

На колесе выделяется расчетная окружность, на которой шаг и модуль зубьев равны шагу и модулю зуборезного инструмента. Эта окружность называется делительной (r, d), а модуль зубьев на делительной окружности называется расчетным модулем зубчатого колеса:

 

где p – шаг по делительной окружности (делительный шаг). Значе­ния m регламентированы СТ СЭВ 310–76, ГОСТ 9563–80:

1-й ряд – 0, 8; 1; 1, 25; 1, 5; 2; 2, 5; 3; 4; 5 и т. д.;

2-й ряд – 0, 9; 1, 125; 1, 375; 1, 75; 2, 25; 2, 75 и т. д.

Диаметр делительной окружности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Центральный угол называется угловым шагом зубьев.

 

В основе зуборезного инструмента, используемого для нареза­ния эвольвентных цилиндрических колес по методу обкатки, лежит исходный производящий контур, под которым понимается контур зубьев зуборезной рейки в сечении плоскостью, перпендикулярной к направлению ее зубьев. Параметры этого контура стандартизованы (СТ СЭВ 308–76 для ), ГОСТ 13755–81 (рис. 21.2).

 

 

Рис. 21.2. Параметры исходного контура зубчатой рейки

 

Высота зуба исходного производящего контура

 

где – коэффициент высоты головки зуба;

– коэффициент радиального зазора.

Угол α = 20° называется углом главного профиля.

Прямая, по которой толщина зуба равна ширине впадины, назы­вается делительной. Зубчатые колеса бывают:

1) без смещения ис­ходного контура (некорригированные);

2) со смещением.

Если делительная прямая исходного производящего контура касается делительной окружности нарезаемого колеса, то нарезается колесо без смещения, в противном случае нарезается колесо со смещением (рис. 21.3).

 

 

Рис. 21.3. Колеса со смещением и без смещения

 

В зависимости от коэффициентов смещения зацепляющихся колес различают следующие типы передач:

1) передача без сме­щения (x ₁ = x ₂ = 0);

2) равносмещенная передача (x ₁ = – x ₂ ≠ 0, x _∑ = x ₁ + x ₂ = 0);

3) положительная передача (x _∑ > 0);

4) отрицательная передача (x _∑ < 0).

В передачах без смещения и равносмещенных[1] (угол зацепления равен углу главного профиля), (делительные окружности одновременно являются и началь­ными), высота зуба h = 2, 25 m. В передачах без смещения

 

 

Межосевые расстояния для стандартных редукторов нормированы:

= 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 180; 200; 225; 250; 280; 315 и т. д.

При нарезании зубьев без смещения можно изготовить колесо лишь с z _1min ≥ 17 (если x _∑ > 0, то z _1min = 12).

При окружных скоростях колес , z ₁ и z ₂ принимают кратными друг другу; при , для z ₁ и z ₂ принимают взаимно простые числа зубьев.

Расчет геометрических параметров цилиндрических зубчатых передач выполняется по ГОСТ 16530–83.

 

21.2. Особенности геометрии косозубых,

шевронных и конических передач

 

Развернем на плоскость поверхность делительного цилиндра (рис. 12.4). Угол β называется углом наклона линии зуба. Два колеса в зацеплении должны иметь одина­ковые углы β, причем при внешнем зацеплении направление винтовых линий у них разное (на одном колесе – правое, а на другом – левое).

 

Рис. 12.4. Развертка поверхности делительного цилиндра на плоскость

У косозубых колес различают окружной шаг p_t (в торцовом сечении), нормальный шаг p_n (в нормальном сечении) и соответственно окружной (торцовый) модуль , нормальный модуль .

Стандартным расчетным модулем является нормальный модуль, т. е. m = m_n.

Очевидны следующие соотношения:

 

 

 

Зацепление косозубых колес в торцовом сечении аналогично за­цеплению прямозубых колес. Поэтому геометрический расчет косозу­бых колеc производится по формулам для прямозубых колес с подста­новкой в них параметров торцового сечения. Например, диаметры де­лительных окружностей определяются по формулам

 

 

В косозубой передаче каждый зуб входит в зацепление не сразу по всей длине, а постепенно.

Для передач () x ₁ = x ₂ = 0

 

Угол наклона линии зуба назначают β =8–15º, для шеврон­ных β = 30–45°. Угол β < 8° выполнять не следует, так как утра­чиваются преимущества косозубых передач перед прямозубыми.

 

21.3. Особенности геометрии конических колес

 

Конические зубчатые передачи служат для передачи вращения между валами с пересекающимися осями. Угол между осями (межосевой угол) теоретически мо­жет быть в диапазоне 10°< < 170º. Наибольшее распространение полу­чили передачи с углом = 90°. и – углы делительного конуса шестерни и колеса. Конические прямозубые ко­леса нарезаются на зуборезных станках инструментами, в основу которых положен зуб исходной рей­ки (ГОСТ 13754–81, = 1; ; ) (рис. 21.5).

 

 

Рис. 21.5. Основные геометрические параметры конических колес

 

Так как зубья на боковых поверхностях конусов отличаются от зубьев цилиндрических колес тем, что их размеры (толщина, высота) по мере приближения к вершине конуса уменьшаются, то соответст­венно изменяются шаг и модуль зацепления, а также и диаметры вер­шин, делительный и впадин зубьев.

Основные параметры зацепления конической прямозубой передачи

 

где – средний делительный диаметр;

d_e – внешний делительный диаметр;

z – число зубьев шестерни и колеса;

– средний окружной мо­дуль;

–внешний окружной модуль, значения которого согласуют с СТ СЭВ 310–76, ГОСТ 13755–81.

 

где –коэффициент ширины зубчатого венца;

–ширина зубчатого венца;

–внешнее конусное расстояние.

Внешнее конусное расстояние

 

 

Модуль определяет выбор параметров режущего инструмента. Высота головки зуба и ножки .

Диаметры вершин зубьев и впадин конического зубчатого колеса:

 

 

Передаточное число при = 90°

 

 

Среднее конусное расстояние .

21.4. Усилия в зацеплении зубчатых передач

 

При определении сил в зацеплении используют методы теорети­ческой механики, а силами трения пренебрегают ввиду их малости.

Нормальная сила F_n направлена по линии зацепления (как по общей нормали к рабочим поверхностям зубьев).

Прямозубая цилиндрическая передача (рис. 21.6).

 

 

Рис. 21.6. Силы, действующие в зацеплении прямозубых цилиндрических колес

 

Силу F_n раскладывают на окружную F_t и радиальную F_r составля­ющие:

 

 

где – сила, изгибающая зуб;

– сила, сжим