Основные законы трения

1. Сила трения действует в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и при движении направлена против относительного скольжения тела.

2. Статическая сила трения пропорциональна нормальной реакции:

 

 

3. Статическая сила трения не зависит от размеров трущихся поверхностей.

4. Статический коэффициент трения ()зависит от материала соприкасающихся тел, физического состояния (влажности, температуры, степени загрязнения и т. д.) и качества обработки. (Законы трения относятся к числу не очень точных. Обычно наблюдаются значительные отклонения от них. Например, при увеличении продолжительности неподвижного контакта соприкасающихся тел статический коэффициент трения возрастает, так как в месте контакта постепенно происходит пластическое изменение поверхностей обоих тел и площади их соприкосновения увеличиваются. Следовательно, размеры трущихся поверхностей влияют на статический коэффициент трения, а значит и на силу трения).

После начала скольжения тела коэффициент трения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента трения f.

Следовательно,

где – сила трения скольжения.

Глава 5. Пространственная система сил

 

5.1. Сложение пространственной системы сходящихся сил.
Условие равновесия

 

Система сил, линии действия которых произвольно расположены в пространстве, называется пространственной.

Если к приложенным к точке А силам и добавить силу , не лежащую в плоскости П действия двух первых сил, то получим простейшую (в количественном отношении) пространственную систему сходящихся сил (рис. 5.1).

 

Рис. 5.1. Пространственная система сходящихся сил

 

Определим равнодействующую этих сил. Сначала построим параллелограмм АВЕС на силах и . Его диагональ

 

.

 

Сложим АЕ с силой и построим параллелограмм AEKD. Его диагональ

 

.

 

Это векторное равенство выражает правило параллелепипеда при сложении приложенных к точке трех сил, не лежащих в одной плоскости.

Параллелограмм АВЕС образует одну из граней параллелепипеда, в котором параллелограмм AEKD является диагональным сечением, а заданные силы , и – ребрами одного из его трехгранных углов. Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сил, сходящихся в одной точке (рис. 5.2), приложена в той же точке и по модулю и направлению равна диагонали параллелепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам:

 

 

т. е. модуль равнодействующей трех сходящихся сил, расположенных в пространстве перпендикулярно друг другу, равен корню квадратному из суммы квадратов модулей этих сил.

 

Рис. 5.2. Параллелепипед сил

 

Равнодействующая любого числа сходящихся сил, расположенных в пространстве, равна замыкающей стороне многоугольника, стороны которого равны и параллельны заданным силам (правило силового многоугольника) (рис. 5.3).

Аналитическое условие равновесия пространственной системы сходящихся сил выражается тремя уравнениями:

 

т. е. для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех осей координат были равны нулю.

 

 

Рис. 5.3. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил

 

5.2. Момент силы относительно оси

Обозначив моменты силы относительно осей , и , можем записать:

 

где , и – модули проекций сил на плоскости, перпендикулярные той оси, относительно которой определяется момент;

l – плечи, равные длинам перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения.

Знак «плюс» или «минус» ставится в зависимости от того, в какую сторону поворачивается плечо l вектором проекции, если смотреть на плоскость проекции со стороны положительного направления оси; при стремлении вектора проекции повернуть плечо против хода часовой стрелки момент условимся считать положительным, и наоборот.

Следовательно, моментом силы относительно оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 5.4).

 

 

Рис. 5.4. Момент силы относительно оси

 

Рис. 5.4 иллюстрирует последовательность определения момента силы относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось:

а) то перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОY);

б) силу F проецируют на эту плоскость и определяют модуль F_xy этой проекции;

в) из точки O пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции F_xy и определяют плечо l = ОС;

г) глядя на плоскость ХОY со стороны положительного направления оси Z (т. е. в данном случае сверху), видим, что ОС поворачивается вектором против хода стрелки ча­сов, значит,

 

 

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости:

а) сила пересекает ось (в этом случае l = 0) (рис. 5.5, а);

б) сила параллельна оси (), (рис. 5.5, б);

в) сила действует вдоль оси (l = 0 и ), (рис. 5.5, в).

 

а б в

 

Рис. 5.5. Случаи равенства нулю момента силы

 

 

5.3. Пространственная система

произвольно расположенных сил. Условие равновесия

 

Ранее подробно был изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – главному вектору – и паре, момент которой называется главным моментом, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства и выражают необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим­но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси:

 

 

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Пространственная система параллельных сил

 

Уравнения равновесия для пространственной системы параллельных сил:

 

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.

 

 

ГЛАВА 6. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

6.1. Основные понятия кинематики

 

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется кинематикой.

Движение – основная форма существования всего материального мира, покой и равновесие – частные случаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время – в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенно­го, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и межпланетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой коорди­натой) S, т. е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко­торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по­этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за положительный, а в противоположную – за отрицательный, т. е. рас­стояние S – величина алгебраическая. Она может быть положитель­ной (S > 0) или отрицательной (S < 0).

При движении точка за определенный промежуток времени прохо­дит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения (рис. 6.1):

 

.

 

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из поло­жения, находящегося на начальном расстоянии S ₀, то

 

.

б

а

Рис. 6.1. Движение точки

 

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Единицы скорости:

 

 

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по каса­тельной к траектории (рис. 6.2):

 

 

 

Рис. 6.2. Вектор скорости точки

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь положение , а модуль средней скорости за время

 

 

где – путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направления и числового значения скорости, называется ускорением (рис. 6.3):

 

.

 

Рис. 6.3. Ускорение точки

 

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направление скорости (рис. 6.4):

 

 

Рис. 6.4. К определению ускорения точки

 

За единицу ускорения принимают обычно

 

6.2. Способы задания движения точки

 

Существует три способа задания движения: естественный, координатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость между расстоянием S и временем t, это уравнение называется законом движения точки по заданной траектории (рис. 6.5).

Пример:

 

Рис. 6.5. Траектория движения точки

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т. е. точка находится в начале отсчета O; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени точка находится на расстоянии от начала отсчета O.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Y и аппликатой Z (рис. 6.6): или, исключив время, .

 

Рис. 6.6. Координатный способ задания движения точки

 

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон движения точки выражается двумя уравнениями: или .

Пример 6.1. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями и (X и Y – см, t – с) (рис. 6.7). Тогда в момент времени и , т. е. точка находится в на­чале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки , и т. д.

 

 

Рис. 6.7. К примеру 6.1

 

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений и , получим уравнение траектории . Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

 

6.3. Определение скорости точки

при естественном способе задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит согласно уравнению , требуется определить скорость точки в момент времени t (рис. 6.8).

 

Рис. 6.8. Дуговая координата движения точки:

 

За промежуток времени точка прошла путь , значение средней скорости на этом пути

 

,

 

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

 

,

 

т. е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

 

6.4. Определение ускорения точки

при естественном способе задания ее движения

 

Вектор – ускорение точки в данный момент (рис. 6.9, а) – есть геометрическая сумма касательного и нормального ускорений:

 

 

Рис. 6.9. Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки

 

Вектор в любой момент времени направлен по касательной (рис. 6.9, б), поэтому вектор называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

 

,

 

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением:

.

 

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

 

,

 

а направление a (угол ) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:

 

 

Если векторы и направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом значения и имеют одинаковые знаки ( или ). Если же векторы и направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и разные ( или ).

 

6.5. Частные случаи движения точки

 

1. Прямолинейное движение. Если , то точка движется прямолинейно, так как при направление скорости остается неизменным.

2. Равномерное движение. При уравнение равномерного движения

 

.

 

При начальном расстоянии , т. е. точка в момент начала движения находится в начале отсчета расстояний, уравнение равномерного движения упрощается: .

Если и , то движение точки называется равномерным прямолинейным. Если и , то точка движется равномерно по криволинейной траектории.