Главные оси и главные моменты инерции. Моменты инерции тел простой геометрической формы. Теорема Гюйгенса - Штейнера

ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сече­ния при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v.

u = y sin  + x cos ; v = y cos   x sin . (3.10)

Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим: I_u + I_v = I_x + I_y = I _ , (3.12)

где ; I _  полярный момент инерции сечения, величи­на которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение I_u по  и приравнивая его нулю, находим значение  =  ₀ , при котором функция I_u прини­мает экстремальное значение: . (3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при  =  ₀ один из осе­вых моментов I_u или I_v будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при  =  ₀ I_uv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют в . (3.14)

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y  i_x и i_y , соответственно, которые определяются по формулам: . (3.15)

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ПРОСТОЙГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии): I = mR²

 

2. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров: I = (1/4)mR².

 

 

3. Момент инерции полого цилиндра относительно оси симметрии: I = (1/2)m(R₁² + R₂²)где R₁ − внутренний и R₂ − внешний радиусы.

4.. Момент инерции сплошного цилиндра: I=(1/2)mR²

 

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину: I = (1/12)ml², где l − длина стержня.

6. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров: I = (2/5)mR².

7. Момент инерции тонкого шарового слоя: I=(2/3)mR²

8. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину: I = m(R²/4 + h²/12)где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.

ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Ic относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

I = Ic + ma²

где

Ic — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

I — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

a — расстояние между указанными осями.