Пример решения задачи 3.2

Дано: m=40 кг, v₀=10 м/с, t₂=8 с, Р₀=0, t₃=12 с, Р₁=250 Н, Р₂=300/200 Н, α =30°, f=0, 1.

Определить v₁, v₂, v₃ и t₁, t₂, t₃.

Решение

Покажем силы, действующие на тело (рис. 3.3): вес , нормальную реакцию плоскости , силу и силу трения скольжения , направив её противоположно начальной скорости, т.е. вниз по наклонной плоскости.

Построим график Р=Р(t) по заданным значениям Р₀, Р₁, Р₂, Р₃ (рис. 3.4)

Рис. 3.4.

1. Для тела, принимаемого за материальную точку, составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось Х для промежутка времени от 0 до t:

mv_1x - mv_ox = Σ S _ix;

где Σ S _ix=Gt₁ - Ft₁ + S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за t₁ с:

S_px= .

Этот интеграл определяется как площадь треугольника ОВМ на графике Р=Р(t):

S_px= =375Н с

Учитывая, что сила трения скольжения F=fN=fG cosα, получаем уравнение (1) в следующем виде:

mv_1x-mv_0x=-gt₁ sinα -fg cosα t₁+375,

откуда

v_1x=v_0x-gt₁ sinα – fg cosα t₁+ ,

т.е. v_1x=10-9, 81 3 0, 5-0, 1 9, 81 0, 87 3+ =10-14, 72-2, 76+9, 38=2, 10 м/с,

таким образом, v₁= v_1x=2, 10 м/с.

2. Для определения скорости тела в момент времени t₂ составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения, для промежутка времени t₂-t₁:

mv_2x- mv_1x= Σ S_ix

где Σ S_ix=-G(t₂-t₁) - F(t₂-t₁) + S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₂-t₁) с выражается площадью трапеции МВСL S на графике Р=Р(t):

S_px= - =1375 Н

Поэтому уравнение имеет вид

mv_2x-mv_1x=-mg(t₂- t₁) sinα -fmg cosα (t₂- t₁)+1375,

откуда

v_2x=v_1x-g(t₂- t₁) sinα – fg cosα (t₂- t₁)+ =

=2, 10-9, 81 0, 5-0, 1 9, 81 0, 87 5+ =2, 10-24, 52-4, 27+34, 38=7, 68 м/с.

Таким образом,

v₂=v_2x=7, 68 м/с.

3. Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения и составленное для промежутка времени t₃-t₂, дает возможность определить скорость тела v₃ в момент t₃:

mv_3x-mv_2x= Σ S_ix

где Σ S_ix=-G(t₃-t₂) - fG cos (t₃-t₂)+S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₃-t₂) с выражается площадью трапеции УDEK:

S_px= =700 Н

тогда v_3x=v_2x-g(t₃- t₂) sinα – fg cosα (t₃- t₂)+ =

=7, 68-9, 81 0, 5-0, 1 9, 81 0, 87 4+ =7, 68-19, 62-3, 41+17, 5=2, 15 м/с.

Таким образом, v₃=v_3x=2, 15 м/с.