Краткая теория волн

 

Любая частица упругой среды, выведенная из положения равновесия, под действием упругих сил стремиться возвратиться в первоначальное положение и совершает колебания. Если смещения невелики, упругая сила прямо пропорциональна смещению, и колебания будут совершаться по гармоническому закону: (1), где - величина смещения точки; и - амплитуда и начальная фаза колебаний, определяемые начальными условиями (выбором начала отсчета времени можно добиться выполнение ).

Колебание одной частицы не остается локализованным – начинают колебаться соседние с ней частицы, затем следующие и т.д.; такая совокупность колеблющихся частиц образует волну. Скорость распространения колебаний (волны), зависящая от природы среды, и амплитуда колебаний определяют величину смещения каждой частицы в заданный момент времени. Распределение величин смещений частиц в волне в зависимости от времени и положения частицы описывается уравнением волны, имеющим вид:

(2), где х – расстояние частицы от начала координат, с – скорость распространения волны, Т – период колебания, - длина волны. Скорость распространения волн определяется формулой:

(3), где Е – модуль упругости среды, - ее плотность.

Скорость продольных волн, в которых частицы колеблются вдоль направления распространения волны, определяется модулем упругости (коэффициентом пропорциональности между напряжением и относительной деформацией в законе Гука); скорость волн поперечных, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения волны, - модулем сдвига.

Появление звука всегда обусловлено колебаниями какого-либо тела. Распространение звука в газах осуществляется продольными волнами.

Уравнение волны (2) соответствует проходящей волне (амплитуда колебаний всех точек волны одинакова, а фаза запаздывает). Если в среде одновременно распространяются 2 волны одинаковой длины, наблюдается сложение этих волн (интерференция). Если направления смещения частиц слагающих волн совпадают, то результирующее смещение равно алгебраической сумме смещений. Тогда результирующее колебание в точке А, отстоящей от первого источника на расстоянии х₁, а от второго – на х₂, запишется так:

(3), где , у₀₁ и у₀₂ – амплитуды 2-х слагающих колебаний (начальные фазы их предполагаются совпадающими). Первый множитель в (3) – результирующая амплитуда колебаний в заданной точке. Отсюда видно, что при

имеем минимум амплитуды колебаний.

При отражении проходящей волны от границ раздела 2-х сред образуется так называемая стоячая волна (разные точки колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами). Смещение частиц в такой волне определяется по (3) для суммы прямой и обратной волн. Надо только иметь в виду, что в случае отражения от более плотной стенки амплитуда отраженной волны будет (т.е. фаза меняется на противоположную или, иначе говоря, идет потеря ).

Условие возникновения стоячей волны: наложение двух встречных плоских волн с одинаковыми частотой и амплитудой. Т.е. она возникает, например, при отражении волн от преград.

Распределение смещений (амплитуд) в стоячей волне при отражении от более плотной среды дается уравнением:

(4),

где - расстояние от точки возникновения волны до места отражения. Переходя от точки к точке вдоль направления волны, будем отмечать различные амплитуды колебаний, определяемые выражением, стоящим перед косинусом в (8). Отсюда следует наличие точек (узлов), для которых эта амплитуда равна нулю: (5).

Также, есть и точки с максимальной амплитудой – пучности. Расстояние между двумя соседними неподвижными точками (узлами), или между соседними пучностями, равно половине длины проходящей волны.

Вблизи узлов имеет место максимум деформации, а значит и максимум потенциальной энергии. Вблизи пучностей стоячей волны находятся пучности скорости, а значит максимальна энергия кинетическая. Т.о. дважды за период происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. В случае стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны, заключенная между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных , происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.