Краткая теория. Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис

 

Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис. 1).

 

 

 

Рис. 1. Физический маятник

 

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.

.

I β = М, (1)

где I – момент инерции маятника;

– угловое ускорение, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

M = - mga × sinj,, (2)

где т – масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид

I j = - mga × sinα

где ω _о² = (mga)/I, тогда получим уравнение:

. (3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ (t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φ _{m .} Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого равны

 

. (4)

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sinφ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний

. (5)

Решение этого уравнения:

j = j _m cos(ω ₀t + α), (6)

 

где α - начальная фаза колебаний, ω _о = 2π /Т - циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний, как

(7)

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен

 

, (8)

где I_с - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

(9)

Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двухразличных значениях а (рис. 2): Т ₁ = Т ₂ при

, откуда

. (10)

Подставим (10) в формулу (9). Получим

(11)

Величина (12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Сравнивая формулы (11) и (7) получим

(13)

 

Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид

. (14)

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g, которое исходя из уравнения (14),

. (15)

Приведенная длина находится из формулы (12), в которой а ₁и а ₂определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.

Рис. 2. Зависимость периода колебаний маятника от параметрa a

На рисунке приведенная длина маятника L _np = a _{1 +} a ₂ равна расстоянию между точками А ̀ В или В̀ А.