Уравнение Шредингера

В квантовой механике поведение частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается уравнением Шрёдингера

, (1)

где ћ = 1, 054•10^-34 Дж•с — постоянная Планка, , μ — масса частицы, U — ее потенциальная энергия в силовом поле, — волновая функция.

Если силы не зависят от времени, т. е. U = U(x, y, z), то возможны стационарные состояния с заданным значением энергии, т. е. существуют решения вида

, (2)

где Е — общая энергия частицы. Подставляя это выражение в уравнение (1), приходим ко второму уравнению Шрёдингера

, (3)

в котором Е играет роль собственного значения, подлежащего определению. В дальнейшем :

. (4)

В случае отсутствия силового поля (U = 0) уравнение (4) принимает вид

. (5)

Нетрудно заметить сходство этого уравнения с волновым уравнением классической физики

, (6)

где - волновое число, λ - длина волны. Однако это сходство является чисто внешним и формальным в силу различия физического смысла функций, входящих в уравнения (5) и (6).

В уравнении Шрёдингера непосредственный физический смысл имеет не сама функция ψ, а значение , которое истолковывается в статистическом духе: выражение означает вероятность пребывания частицы внутри элементарного объема dxdydz в точке (х, у, z)пространства.

В связи с этим нормировка собственных функций к единице, которой мы неоднократно пользовались ранее в целях математической простоты, теперь приобретает фундаментальное значение. Условие нормировки

(7′)

означает, что частица находится в каком-либо месте пространства и поэтому вероятность найти частицу где-нибудь в пространстве равна единице (достоверное событие).

Рассмотрим некоторые простейшие задачи для уравнения Шрёдингера.