Ортогональность системы сферических функций
Докажем, что сферические функции, соответствующие различным значениям
где
Нетрудно видеть, что имеет место формула
которая легко получается интегрированием по частям (
Так что используя
и формулу (20) можно записать в виде
Меняя местами в формуле (20) функции
Формулы (20) и (21) являются формулами Грина для операторов сферических функций. Из формулы (21) легко следует ортогональность
откуда при
или
Тем самым доказана ортогональность сферических функций, соответствующих разным
|
, ортогональны на поверхности сферы 
. Пусть 
и 
удовлетворяют уравнениям
; 
, (19)
.
, (20)
). На поверхности сферы:
,
.
.
. (21)
,
получим, что
,
.
