Норма полиномов ЛежандраВычислим норму полиномов Лежандра . (5) Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n +1на n) через и , а затем – через и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим: Таким образом, мы получили рекуррентную формулу для нормы: . (6) Последовательное применение это формулы дает . Таким образом, . (7) Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд , который домножим на и проинтегрируем: , . Система ортогональных функций называют замкнутой, если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы. Система ортогональных функций называется полной в (a, b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации . , , , , . Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.
|