Норма полиномов Лежандра
Вычислим норму полиномов Лежандра
Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n +1на n)
Таким образом, мы получили рекуррентную формулу для нормы:
Последовательное применение это формулы дает
Таким образом,
Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд
который домножим на
Система ортогональных функций называют замкнутой, если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы. Система ортогональных функций
Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.
|
. (5)
через 
и 
, а затем 
– через 
. Учитывая ортогональность полиномов 
. (6)
.
. (7)
,
,
.
называется полной в (a, b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации 
.
,
,
,
,
.
