Найдем уравнение, которому удовлетворяет
. Используя соотношение (7) заменяем в (8) последнее слагаемое и дифференцируем:
,
,
.
Таким образом, мы получили уравнение Чебышева-Эрмита, которое можно записать в операторной форме:
. (9)
Отсюда видно, что полином Чебышева-Эрмита является собственной функцией, соответствующей собственному значению
и сводится к задаче Штурма-Лиувиля:
найти те значения
, при которых уравнение Чебышева- Эрмита
,
, (10)
имеет нетривиальное решение, возрастающее при
, не быстрее чем конечная степень
.
Решение этой задачи можно было бы искать в виде степенного ряда
. Подставляя этот ряд в уравнение (10), получим для коэффициентов рекуррентную формулу
. (11)
Из формулы (11) видно, что при
все коэффициенты
обращаются в 0 для
и ряд обрывается. Только при требовании
может быть выполнено условие на бесконечности. Полученные полиномы будут определены с точностью до постоянного множителя. Выбирая
, получим полиномы
.