Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра

При изучении движения электрона в поле кулоновских сил, а также в других задачах современной физики наряду с полиномами L_п (х)встречаются обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра . Теорию этих полиномов можно построить по аналогии с обычными полиномами Чебышева-Лагерра пп.1.1-1.4, исходя из производящей функции

, s > -1 (16)

и разлагая ее в ряд по степеням ρ:

; . (17)

Повторяя рассуждения, проведенные для s =0 в пп.1.1, находим:

(18)

т. е. действительно является многочленом п-й степени.

Вводя функцию и дифференцируя ее (n +2) раз по х, находим для функции уравнение

.

Вычислим производные для

,

и учтем при этом уравнение для U:

;

тогда получим уравнение

. (19)

которому удовлетворяют обобщенные полиномы . Тем самым доказано, что обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям

следующей задачи:

найти значения λ, при которых уравнение

или

(20)

имеет в области 0≤ x < нетривиальное решение, ограниченное при х= 0 и возрастающее при не быстрее конечной степени х.

Исходя из дифференциальной формулы (18) и проводя рассуждения по аналогии с п. 1.4, нетрудно доказать, что обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра образуют ортогональную с весом e^-xx^s систему функций:

Обобщенным полиномам Чебышёва-Лагерра соответствуют ортогональные и нормированные с весом ρ (х) =1 функции. Запишем соответствующие две функции

,

,

,

.

Подставляя это выражение в уравнение (19) получаем:

, (21)

где

при граничных условиях < , , соответствующими собственным значениям

.

Из формулы (20) видно, что для λ _n, равного п +1/2 (если в уравнении (20) λ заменить на λ +1/2, то при s = 0 оно совпадет с уравнением Чебышёва-Лагерра (11)).