Ротатор
Найдем собственные значения энергии ротатора со свободной осью, т. е. частицы, вращающейся на одном и том же расстоянии вокруг неподвижного центра. Потенциальная энергия U ротатора сохраняет одно и то же значение во всех положениях частицы, и ее можно положить равной нулю: U = 0. В сферической системе координат (r, θ, φ) с началом координат в неподвижном центре уравнение Шрёдингера для ротатора
можно записать в сферической системе координат в виде
При этом используется условие
Введем вместо массы μ момент инерции
или
где
Таким образом, мы пришли к краевой задачи на собственные значения для уравнения
при естественном граничном условии ограниченности в точках θ =0 и θ =π и условии нормировки
Решениями этой задачи являются нормированные сферические функции
соответствующие собственным значениям
Заменяя λ его значением согласно формуле (17), получаем формулу для квантованных значений энергии ротатора
|
,
. (15)
.
, тогда получим
, (16)
. (17)
,
. (18)
(19)
. (20)
,
, причем 
(21)
