Студопедия — Степенные ряды. Уравнение Бесселя v-го порядка
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Степенные ряды. Уравнение Бесселя v-го порядка






Уравнение Бесселя v -го порядка

(1)

или

(2)

(ν – произвольное действительное или комплексное число, действительная часть которого не отрицательна). Решение уравнения Бесселя имеет особую точку при x =0. Поэтому решение у(х) следует искать в виде степенного ряда

(3)

начинающегося с хσ , где σ – характеристический показатель, подлежащий определению. Подставляя ряд (3) в уравнение (2) и приравнивая нулю коэффициенты при хσ , хσ +1,..., хσ +k, получаем уравнение для определения σ и систему уравнений для определения коэффициентов аk:

,

,

(4)

(5)

Так как мы можем предположить, что , то из первого уравнения (5) следует, что

, или . (6)

Перепишем k -е уравнение (5) (k > 1) в виде

. (7)

Тогда из второго уравнения (5), в силу (6), будем иметь

,

,

. (8)

Уравнение (7) дает рекуррентную формулу для определения аk через аk-2

. (9)

Отсюда и из (8) заключаем, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Если v вещественно, то при решение обращается в бесконечность в точке х= 0.

Остановимся на случае . Из (9) следует, что каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий:

, (10)

,

.

Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а2m через а0:

. (11)

Воспользуемся свойством гамма-функции Г(s)

,

,

.

Коэффициент a0 до сих пор оставался произвольным. Если v -п, где п > 0 - целое число, то, полагая

(12)

и используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получаем

. (13)

Если же , v п, где п > 0 — целое число, то, полагая

, (12′)

будем иметь:

. (14)

Ряд (3), соответствующий ≥ 0, с коэффициентами (12) и (13)

(15)

называется функцией Бесселя 1-го рода v-го порядка. Ряд

, (16)

соответствующий , представляет второе решение уравнения (1), линейно независимое от Jν (x). Ряды (15) и (16), очевидно, сходятся на всей плоскости х.

Рассмотрим теперь тот случай, когда v равно половине целого числа. Пусть ν 2 = (n + 1/2)2, где п ≥ 0 — целое число. Полагая в формулах (5) σ =ν =п+ 1/2, получаем

,

(k> 1),

так что

,

.

Последовательно применяя эту формулу, находим:

.

Полагая здесь v = n + 1/2, получаем формулу (11). Положив далее

,

получим формулу (13). Пусть тогда уравнения (5) для аk принимают вид

,

………………

………………

.

По-прежнему все коэффициенты , но для a2n+1 получаем уравнение , которое удовлетворяется при любом значении a2n+1. При к > п коэффициент a2n+1 определяется равенством

.

Полагая

a2n+1=0,

,

получаем формулу (14). Таким образом, при v= ± (n +1/2 ) не требуется никакого изменения в определении функции Jν (x). Формулы (15) и (16) остаются в силе.

Отметим, что формула (16) определяет J(x) лишь для нецелых значений ν, поскольку определение a0 по формуле (12) при целых отрицательных v=-п лишено смысла. Продолжим по непрерывности (16) на целые значения v = п. Поскольку для , суммирование в (16) фактически начинается со значений k=k0+1=n. Изменяя в (16) индекс суммирования , получаем:

,

,

так как суммирование начинается с k' =0.

Выпишем в качестве примера ряды для функций Бесселя 1-го рода нулевого (n = 0) и 1-го (n = 1) порядков:

Функции Jn(x) и J-n(x) (n — целое число), как мы видели, линейно зависимы:

.

Для нецелых значений v функции Jv(x) и J-ν (x) линейно независимы. В самом деле, Jv(x) имеет нуль, a J-ν (x) — полюс v- гопорядка в точке х = 0. Таким образом, если v — нецелое число, то всякое решение yv(x) уравнения Бесселя (1) может быть представлено в виде линейной комбинации функций Jv(x) и J-v(x):

.

Если ищется ограниченное решение уравнения (1), то и

при Re ν > 0.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 554. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия