Степенные ряды. Уравнение Бесселя v-го порядка

Уравнение Бесселя v -го порядка

(1)

или

(2)

(ν – произвольное действительное или комплексное число, действительная часть которого не отрицательна). Решение уравнения Бесселя имеет особую точку при x =0. Поэтому решение у(х) следует искать в виде степенного ряда

(3)

начинающегося с х^σ , где σ – характеристический показатель, подлежащий определению. Подставляя ряд (3) в уравнение (2) и приравнивая нулю коэффициенты при х^σ , х^{σ +1},..., х^{σ +k}, получаем уравнение для определения σ и систему уравнений для определения коэффициентов а_k:

,

,

(4)

(5)

Так как мы можем предположить, что , то из первого уравнения (5) следует, что

, или . (6)

Перепишем k -е уравнение (5) (k > 1) в виде

. (7)

Тогда из второго уравнения (5), в силу (6), будем иметь

,

,

. (8)

Уравнение (7) дает рекуррентную формулу для определения а_k через а_k-2

. (9)

Отсюда и из (8) заключаем, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Если v вещественно, то при решение обращается в бесконечность в точке х= 0.

Остановимся на случае . Из (9) следует, что каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий:

, (10)

,

.

Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а_2m через а₀:

. (11)

Воспользуемся свойством гамма-функции Г(s)

,

,

.

Коэффициент a₀ до сих пор оставался произвольным. Если v -п, где п > 0 - целое число, то, полагая

(12)

и используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получаем

. (13)

Если же , v п, где п > 0 — целое число, то, полагая

, (12′)

будем иметь:

. (14)

Ряд (3), соответствующий ≥ 0, с коэффициентами (12) и (13)

(15)

называется функцией Бесселя 1-го рода v-го порядка. Ряд

, (16)

соответствующий , представляет второе решение уравнения (1), линейно независимое от J_ν (x). Ряды (15) и (16), очевидно, сходятся на всей плоскости х.

Рассмотрим теперь тот случай, когда v равно половине целого числа. Пусть ν ² = (n + 1/2)², где п ≥ 0 — целое число. Полагая в формулах (5) σ =ν =п+ 1/2, получаем

,

(k> 1),

так что

,

.

Последовательно применяя эту формулу, находим:

.

Полагая здесь v = n + 1/2, получаем формулу (11). Положив далее

,

получим формулу (13). Пусть тогда уравнения (5) для а_k принимают вид

,

………………

………………

.

По-прежнему все коэффициенты , но для a_2n+1 получаем уравнение , которое удовлетворяется при любом значении a_2n+1. При к > п коэффициент a_2n+1 определяется равенством

.

Полагая

a_2n+1=0,

,

получаем формулу (14). Таким образом, при v= ± (n +1/2 ) не требуется никакого изменения в определении функции J_ν (x). Формулы (15) и (16) остаются в силе.

Отметим, что формула (16) определяет J_-ν (x) лишь для нецелых значений ν, поскольку определение a₀ по формуле (12) при целых отрицательных v=-п лишено смысла. Продолжим по непрерывности (16) на целые значения v = п. Поскольку для , суммирование в (16) фактически начинается со значений k=k₀+1=n. Изменяя в (16) индекс суммирования , получаем:

,

,

так как суммирование начинается с k' =0.

Выпишем в качестве примера ряды для функций Бесселя 1-го рода нулевого (n = 0) и 1-го (n = 1) порядков:

Функции J_n(x) и J_-n(x) (n — целое число), как мы видели, линейно зависимы:

.

Для нецелых значений v функции J_v(x) и J-_ν (x) линейно независимы. В самом деле, J_v(x) имеет нуль, a J-_ν (x) — полюс v- гопорядка в точке х = 0. Таким образом, если v — нецелое число, то всякое решение y_v(x) уравнения Бесселя (1) может быть представлено в виде линейной комбинации функций J_v(x) и J_-v(x):

.

Если ищется ограниченное решение уравнения (1), то и

при Re ν > 0.