Рекуррентные формулы
Установим следующие соотношения, существующие между функциями Бесселя 1-го рода различных порядков:
Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием рядов для бесселевых функций. Покажем, например, справедливость соотношения (17). С учетом соотношения (15) получаем:
В последней сумме k меняется от 1 до
что и доказывает формулу (17). Справедливость формулы (18) доказывается аналогично. Отметим два важных частных случая рекуррентных формул. При v = 0 из (17) следует
Для случая v = 1 формула (18) дает
Установим рекуррентные формулы, связывающие Jv(x), Jν +1(x) и Jv-1(x). Производя дифференцирование в (17) и (18), получаем:
Складывая и вычитая (17') и (18'), находим рекуррентные формулы
С помощью формулы (21) можно вычислять Jν +1 (x), если известны Jv(x) и Jv-1(x):
|
, (17)
. (18)
,
. Введем новый индекс суммирования 
, который будет меняться от 0 до 
,
(19)
или 
. (20)
,
,
,
, (17)′
. (18′)
. (21)
. (21′)
