Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функции мнимого аргумента




Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. Рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий Jν(x), значение ix вместо x, получаем

, (15)

где

(16)

- вещественная функция, связанная с Jν(ix) соотношением

, или .

В частности, при ν=0

(17)

Из ряда (16) видно, что Iν(x) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при x=0 нуль ν-го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для Iν(x) должна иметь место асимптотическая формула

, (18)

при больших значениях аргумента x.

Аналогично вводится I-ν(x). Функции Iν и I-ν при нецелом ν линейно независимы, так как в точке x=0 при ν>0 функция Iν(x) имеет нуль ν-го порядка, а I-ν(x) – полюс x=0. Если ν=n – целое число, то I-n(x)= In(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения

(19)

и, в частности, функция I0(x) удовлетворяет уравнению

. (20)

Наряду с функцией Iν(x) рассматривают функцию Макдональда Kν(x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

. (21)

Kν(x) является вещественной функцией x. Формула (12) и (13) дают

при ν≠n,

. (22)

Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:

(23)

Формулы (23) и (18) показывают, что Kν(x) экспоненциально убывают, а Iν(x) экспоненциально возрастают при x→ . Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации

.

В частности, если y ограничено на бесконечности, то A=0 и B=0 и y=AIν(x).

Из линейной независимости Iν и Kν следует, что Kν(x) имеет в точке x=0 полюс ν-го порядка (Kν(x) ) при ν≠0 и логарифмическую особенность при ν=0.

при x→0.

Наиболее важное значение имеет функция

. (23)

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 237. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия