Функции мнимого аргумента

Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. Рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий J _ν (x), значение ix вместо x, получаем

, (15)

где

(16)

- вещественная функция, связанная с J _ν (ix) соотношением

, или .

В частности, при ν =0

(17)

Из ряда (16) видно, что I _ν (x) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при x= 0 нуль ν -го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для I _ν (x) должна иметь место асимптотическая формула

, (18)

при больших значениях аргумента x.

Аналогично вводится I _-ν (x). Функции I _ν и I _-ν при нецелом ν линейно независимы, так как в точке x=0 при ν > 0 функция I _ν (x) имеет нуль ν -го порядка, а I _-ν (x) – полюс x =0. Если ν =n – целое число, то I _-n(x) = I _n(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения

(19)

и, в частности, функция I ₀(x) удовлетворяет уравнению

. (20)

Наряду с функцией I _ν (x) рассматривают функцию Макдональда K _ν (x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

. (21)

K _ν (x) является вещественной функцией x. Формула (12) и (13) дают

при ν ≠ n,

. (22)

Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:

(23)

Формулы (23) и (18) показывают, что K _ν (x) экспоненциально убывают, а I _ν (x) экспоненциально возрастают при x→ . Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации

.

В частности, если y ограничено на бесконечности, то A =0 и B =0 и y = AI _ν (x).

Из линейной независимости I _ν и K _ν следует, что K _ν (x) имеет в точке x =0 полюс ν -го порядка (K _ν (x) ) при ν ≠ 0 и логарифмическую особенность при ν = 0.

при x → 0.

Наиболее важное значение имеет функция

. (23)