Движение электрона в кулоновском поле

Одной из простейших задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра, имеющая большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода, но и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном (водородоподобных атомов), например атома натрия.

В атоме водорода электрон находится в кулоновском электростатическом поле ядра (протона), так что потенциальная энергия U(x, y, z) равна

, (22)

где r есть расстояние электрона от ядра, -е -заряд электрона, +е -заряд ядра.

Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид

. (23)

Задача состоит в отыскании таких значений Е, для которых уравнение (23) допускает решение, непрерывное во всем пространстве и удовлетворяющее условию нормировки

. (24)

Запишем уравнение (23) в сферической системе координат с началом в ядре, которое предполагается неподвижным:

(25)

и будем искать решение в виде

. (26)

Принимая во внимание дифференциальное уравнение для сферических функций :

получаем:

. (27)

Введем в качестве единицы длины величину

,

в качестве единицы энергии — величину

.

Полагая

, < 0. (28)

Перепишем уравнение (27) в виде

,

. (29)

С помощью подстановки

, (30)

,

,

,

,

,

уравнение (29) приводится к виду

. (31)

Введя в качестве независимой переменной величину

, (32)

получим вместо (31) уравнение

(33′)

или

,

или

, (33)

где

(34)

совпадает с рассмотренным нами в §2.5 уравнением (21).

Найденные там собственные значения оказались равными

,

а собственные функции (определенные с точностью до постоянного множителя) через обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра :

. (35)

Учитывая, что , получаем:

.

Целое число п называется главным квантовым числом, п_r - радиальным квантовым числом, l — азимутальным или орбитальным квантовым числом.

Заменяя λ его выражением согласно формулам (34) и (28), получаем квантованные значения энергии

(36)

. (37)

Они зависят только от главного квантового числа п.

Перейдем теперь к определению собственных функций водородоподобного атома. Для этого в силу формулы (26) нам достаточно найти радиальные функции χ (ρ). Пользуясь формулами (30), (32), (34), (35), (36), можем написать

, (38)

где А_п — нормировочный множитель, определяемый из условия

. (39)

Вычисляя А_п, получаем следующее выражение для нормированных радиальных функций:

. (40)

В силу формул (26) и (19) нормированные собственные функции имеют вид

,

где - нормировочный коэффициент, определяемый формулой (40).

Число т (т = 0, ±1, ±2,..., ±l) называется магнитным квантовым числом. Так как п_r всегда неотрицательно (n_r = 0, 1, 2,...), то при данном п в силу формулы

п = п_r + l + 1

квантовое число l не может быть больше п -1 (l = 0, 1, 2,..., п -1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа п число l может принимать n значений: l = 0, 1,..., n -1, а каждому значению l соответствует (2 l + 1) значений т. Отсюда следует, что заданному значению энергии Е_п, соответствует n ² различных собственных функций. Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности п ².

Найденный нами дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Е_п состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле.