Краевые задачи для уравнения Бесселя

Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя на отрезке [0, r₀] связана с задачей о собственных колебаниях круглой мембраны

, , (1)

, , . (2)

Полагая и разделяя переменные, получаем

,

, (3)

, . (4)

Условие периодичности для Ф(φ) дает v = n², где п — целое число. Таким образом, функция R(r) должна определяться из уравнения Бесселя

,

домножим на r

, (5)

при граничном условии

, (6)

и естественном граничном условии ограниченности в точке r =0

. (7)

Полагая

, (8)

,

,

,

, ,

, ,

,

приходим к уравнению

, , (9)

при дополнительных условиях

, (10)

. (11)

Отсюда находим

. (12)

В силу граничного условия имеем:

, (13)

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т. е. уравнение (1) имеет бесчисленное множество собственных значений

(14)

которым соответствуют собственные функции

(15)

краевой задачи (5)-(7).

Из способа построения собственных функций видно, что всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (15).

Из общей теории уравнений вида

,

следует ортогональность системы собственных функций

с весом r:

при . (16)

Вычислим норму собственных функций , где .Попутно будет получено условие ортогональности (16). Для этого рассмотрим функцию , где α ₂ — произвольный параметр.

Функции R₁(r) и R₂(r) удовлетворяют уравнениям

,

,

причем R ₁(r _o)= 0, a R ₂(r)уже не удовлетворяет этому граничному условию. Вычитая из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на R ₂(r) и R ₁(r), и интегрируя затем по r в пределах от 0 до r₀, будем иметь

,

откуда находим

,

. (17)

Переходя к пределу при и раскрывая неопределенность в правой части, получаем выражение для квадрата нормы:

,

,

или

. (18)

В частности, квадрат нормы функции равен

.

Если положить , то из формулы (17) сразу следует условие (16) ортогональности функций Бесселя.

Отметим, что имеются таблицы нулей функции и соответствующих им значений . Приведем несколько первых значений :

, , , .

С возрастанием номера m нуля разность должна стремиться к π;. Это можно проследить даже для нескольких первых значений (например, , , и т.д.) .

В силу общих свойств собственных функций краевых задач имеет место теорема разложимости:

всякая дважды дифференцируемая функция f(r), ограниченная при r = 0 и обращающаяся в нуль при r=r₀, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

где

,

где

.

Вторая краевая задача для уравнения Бесселя:

, ,

,

решается аналогично. Собственные функции и собственные значения также будут выражаться формулами (15) и (14), где под следует понимать корень номера m уравнения

.

Собственные функции задачи ортогональны между собой с весом r и имеют квадрат нормы, равный

.

Аналогично решается и третья краевая задача. В этом случае для определения получается уравнение вида

.