Функции Ханкеля и Неймана

Как было отмечено в п.3.1, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка выражается через функции , . Установим связь между функциями , , , , .

Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом можно представить в виде линейной комбинации функций и , то

, (9)

где и -постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство:

. (10)

Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду :

Сокращаем обе части уравнения (10) на и пользуясь формулой Эйлера для левой части, получаем:

откуда

,

или

(11)

,

.

Подставляя (11) в (9), находим

. (12)

Аналогично,

. (13)

.

Пользуясь формулой , определяющей , получаем из (12) и (13):

. (14)

Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений v. Для целого значения функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при . Переходя в этих формулах к пределу при и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь

,

,

.

Пользуясь представлением функций и в виде степенных рядов, можно получить аналогичные представления для , а также и .

Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля.

Если , то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при имеем:

,