Функции Ханкеля и Неймана
Как было отмечено в п.3.1, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом
где
Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду
Сокращаем обе части уравнения (10) на
откуда
или
Подставляя (11) в (9), находим
Аналогично,
Пользуясь формулой
Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений v. Для целого значения
Пользуясь представлением функций Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля. Если
|
выражается через функции 
, 
. Установим связь между функциями 
, 
, 
, 
, (9)
и 
-постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство:
. (10)
:
и пользуясь формулой Эйлера для левой части, получаем:
,
(11)
,
.
. (12)
. (13)
.
, определяющей 
. (14)
функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при 
. Переходя в этих формулах к пределу при 
и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь
, 
, 
. 
, то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при 
имеем:
,
